Determine todos os polinômios de grau 2 no anel
, com as operações módulo 3 .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os polinômios de grau 2 no anel
. Aqui
é o corpo com três elementos
e as operações são feitas módulo 3. Para um polinômio ter grau 2, seu coeficiente de
não pode ser zero em
.
Passo 2
Em
os únicos elementos são
onde
. Num polinômio
todos os coeficientes
pertencem a
.
Passo 3
Para que o grau seja exatamente 2 precisamos de
Logo
O número total de possibilidades é
Passo 4
Em forma geral, todos os polinômios de grau 2 em
são
Passo 5
Listando explicitamente, para
e
temos os 18 polinômios:
Para
:
Para
:
Resposta
Todos os polinômios de grau 2 em
são exatamente esses 18 listados acima.