Determine todos os polinômios de grau 2 no anel Z3[x], com as operações módulo 3 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os polinômios de grau 2 no anel Z3[x]. Aqui Z3 é o corpo com três elementos 0,1,2 e as operações são feitas módulo 3. Para um polinômio ter grau 2, seu coeficiente de x^2 não pode ser zero em Z3.

Passo 2

Em Z3 os únicos elementos são
0,1,2,
onde 2equiv -1pmod3. Num polinômio
a x^2 + b x + c,
todos os coeficientes a,b,c pertencem a 0,1,2.

Passo 3

Para que o grau seja exatamente 2 precisamos de
a neq 0 em Z3
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ain1,2, bin0,1,2, cin0,1,2
O número total de possibilidades é
2 times 3 times 3 = 18

Passo 4

Em forma geral, todos os polinômios de grau 2 em Z3[x] são
l,a x^2 + b x + c mid ain1,2,;bin0,1,2,;cin0,1,2r

Passo 5

Listando explicitamente, para a=1 e a=2 temos os 18 polinômios:
Para a=1:
,x^2,;x^2+1,;x^2+2,;x^2+x,;x^2+x+1,;x^2+x+2,;x^2+2x,;x^2+2x+1,;x^2+2x+2
Para a=2:
,2x^2,;2x^2+1,;2x^2+2,;2x^2+x,;2x^2+x+1,;2x^2+x+2,;2x^2+2x,;2x^2+2x+1,;2x^2+2x+2

Resposta

Todos os polinômios de grau 2 em Z3[x] são exatamente esses 18 listados acima.

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