Use o algoritmo da divisão para determinar
e
de modo que
com
para os seguintes polinômios.
(a)
e
em
(b)
e
em
(c)
e
em
(d)
e
em
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o algoritmo da divisão de polinômios em quatro situações, em anéis de coeficientes diferentes (
,
e
), de modo a encontrar
e
tais que
com
. Em cada caso iremos:
- dividir o termo de maior grau de
pelo de para obter um termo de , - multiplicar
por esse termo e subtrair de , - repetir até que o grau do resto seja menor que o de
.
Passo 2
(a) Em
,
– 1.º termo de
:
. Subtraindo
– 2.º termo de
:
. Subtraindo
– 3.º termo de
:
. Subtraindo
cujo grau é
, então
Passo 3
(b) Em
,
– 1.º termo de
:
. Subtraindo
– 2.º termo de
:
. Subtraindo
com
. Logo
Passo 4
(c) Em
, dividir
por
. Usando divisão sintética com raiz
:
coeficientes de :
.
– Trazer .
– Multiplicar por :
, somar ao próximo:
.
– Multiplicar por :
, somar:
.
– Multiplicar por :
, somar a
:
.
– Multiplicar por :
, somar a
:
.
– Multiplicar por :
, somar a
:
.
Os cinco primeiros resultados são coeficientes de , o último é
. Assim
coeficientes de
– Trazer
– Multiplicar por
– Multiplicar por
– Multiplicar por
– Multiplicar por
– Multiplicar por
Os cinco primeiros resultados são coeficientes de
Passo 5
(d) Em
,
No anel
,
.
– 1.º termo de :
. Subtraindo
– 1.º termo de
– 2.º termo de
:
. Subtraindo
com
. Logo
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(c) ,
.
(d) ,
in
.
(b)
(c)
(d)