Use o algoritmo da divisão para determinar q(x) e r(x) de modo que f(x)=q(x) g(x)+ r(x) com gr(r(x))<gr(g(x)) para os seguintes polinômios.
(a) f(x)=3 x^6+4 x^5+6 x^2-4 x-5 e g(x)=x^4+4 x^2+1 em Q[x]
(b) f(x)=3 x^5-4 x^2+6 x+1 e g(x)=2 x^3+3 x+2 em R[x]
(c) f(x)=3 x^5-4 x^2+6 x+1 e g(x)=x+2 em Q[x]
(d) f(x)=4 x^3+3 x^2+5 x+2 e g(x)=5 x^2+4 x+3 em Z12[x]

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o algoritmo da divisão de polinômios em quatro situações, em anéis de coeficientes diferentes ( Q[x], R[x] e Z12[x]), de modo a encontrar q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x),g(x)+r(x),
com deg(r)<deg(g). Em cada caso iremos:
  1. dividir o termo de maior grau de f pelo de g para obter um termo de q,
  2. multiplicar g por esse termo e subtrair de f,
  3. repetir até que o grau do resto seja menor que o de g.

Passo 2

(a) Em Q[x],
f(x)=3x^6+4x^5+0x^4+0x^3+6x^2-4x-5, g(x)=x^4+4x^2+1
– 1.º termo de q: 3x^6x^4=3x^2. Subtraindo
f1(x)=f(x)-3x^2,g(x) =4x^5-12x^4+0x^3+3x^2-4x-5
– 2.º termo de q: 4x^5x^4=4x. Subtraindo
f2(x)=f1(x)-4x,g(x) =-12x^4-16x^3+3x^2-8x-5
– 3.º termo de q: -12x^4x^4=-12. Subtraindo
r(x)=f2(x)-(-12),g(x) =-16x^3+51x^2-8x+7,
cujo grau é 3<4, então
q(x)=3x^2+4x-12, r(x)=-16x^3+51x^2-8x+7

Passo 3

(b) Em R[x],
f(x)=3x^5+0x^4+0x^3-4x^2+6x+1, g(x)=2x^3+0x^2+3x+2
– 1.º termo de q: tfrac3x^52x^3=tfrac32x^2. Subtraindo
f1(x)=f(x)-tfrac32x^2,g(x) =-tfrac92x^3-7x^2+6x+1
– 2.º termo de q: tfrac-tfrac92x^32x^3=-tfrac94. Subtraindo
r(x)=f1(x)-l(-tfrac94r),g(x) =-7x^2+tfrac514x+tfrac112,
com deg(r)=2<3. Logo
q(x)=tfrac32x^2-tfrac94, r(x)=-7x^2+tfrac514x+tfrac112

Passo 4

(c) Em Q[x], dividir
f(x)=3x^5-4x^2+6x+1
por g(x)=x+2. Usando divisão sintética com raiz -2:
coeficientes de f: 3,0,0,-4,6,1.
– Trazer 3.
– Multiplicar por -2: -6, somar ao próximo: -6.
– Multiplicar por -2: 12, somar: 12.
– Multiplicar por -2: -24, somar a -4: -28.
– Multiplicar por -2: 56, somar a 6: 62.
– Multiplicar por -2: -124, somar a 1: -123.
Os cinco primeiros resultados são coeficientes de q, o último é r. Assim
q(x)=3x^4-6x^3+12x^2-28x+62, r(x)=-123

Passo 5

(d) Em Z12[x],
f(x)=4x^3+3x^2+5x+2, g(x)=5x^2+4x+3
No anel Z12, 5^-1=5.
– 1.º termo de q: 4x^3/(5x^2)=4cdot5,x=8x. Subtraindo
f1(x)=f(x)-8x,g(x) =7x^2+5x+2
– 2.º termo de q: 7x^2/(5x^2)=7cdot5=11. Subtraindo
r(x)=f1(x)-11,g(x) =9x+5,
com deg(r)=1<2. Logo
q(x)=8x+11, r(x)=9x+5em Z12[x]

Resposta

(a) q(x)=3x^2+4x-12, r(x)=-16x^3+51x^2-8x+7.
(b) q(x)=tfrac32x^2-tfrac94, r(x)=-7x^2+tfrac514x+tfrac112.
(c) q(x)=3x^4-6x^3+12x^2-28x+62, r(x)=-123.
(d) q(x)=8x+11, r(x)=9x+5 in Z12[x].

Exercícios relacionados