Considere os polinomios p_{1}(x)=3, p_{2}(x)=2 x, p_{3}(x)=-x^{2}.
a) ( 1.5 pontos) Mostre que \mathrm{B}=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) é hase do \mathrm{P}_{2} ustal.
b) (1.0 pontos) Encontre as coordenadas de p(x)=x^{2}-3 x+1 na base B.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no espaço \mathrm{P}_2 (polinômios de grau \le2):
  1. Mostrar que \mathcal{B}=(p_1,p_2,p_3), com
p_1(x)=3,\quad p_2(x)=2x,\quad p_3(x)=-x^2,
é base de \mathrm{P}_2.
2. Encontrar as coordenadas de p(x)=x^2-3x+1 nessa base.

Passo 2

Para ver que \mathcal{B} é base, basta mostrar que os três vetores são linearmente independentes em um espaço de dimensão 3. Suponha
\alpha\,p_1(x)+\beta\,p_2(x)+\gamma\,p_3(x)=0\quad\forall x.
Isso é
\alpha\cdot3+\beta\cdot2x+\gamma\cdot(-x^2)=0,
isto é,
(-\gamma)\,x^2+(2\beta)\,x+(3\alpha)=0.
Comparando coeficientes obtemos
-\gamma=0\implies\gamma=0,\quad 2\beta=0\implies\beta=0,\quad 3\alpha=0\implies\alpha=0.
Logo só existe combinação trivial, o que prova independência. Como são 3 vetores em \dim\mathrm{P}_2=3, eles também geram todo o espaço e, portanto, formam base.

Passo 3

Queremos a,b,c tais que
a\,p_1(x)+b\,p_2(x)+c\,p_3(x)=x^2-3x+1.
Substituindo p_i:
a\cdot3 + b\cdot2x + c\cdot(-x^2) = -c\,x^2 + 2b\,x + 3a.
Comparando com x^2-3x+1:
-c=1\implies c=-1,\quad 2b=-3\implies b=-\tfrac32,\quad 3a=1\implies a=\tfrac13.

Resposta

a) \mathcal{B} é base de \mathrm{P}_2.
b) As coordenadas de p(x)=x^2-3x+1 na base \mathcal{B} são
\bigl(a,b,c\bigr)=\Bigl(\tfrac13,\,-\tfrac32,\,-1\Bigr).

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