Seja A=(-1,-3) um ponto.
(a) Determine as coordenadas do ponto B ,sabendo que \overrightarrow{A B} é paralelo ao vetor \vec{v}=(1,2) ,a distaincia de A a B é \sqrt{20} ,e B está localizado no terceiro quadrante.
(b)Determine as coordenadas de um ponto C ,que seja simétrico a B com relação a A

Passo 1

O enunciado dá o ponto A = (-1,-3) e pede em (a) o ponto B tal que \overrightarrow{AB} seja paralelo a \vec v = (1,2), tenha comprimento \sqrt{20} e esteja no terceiro quadrante. Em (b) pede-se o ponto C simétrico a B em relação a A. Vamos usar parametrização de vetores, fórmula da distância e reflexão de ponto.

Passo 2

Se \overrightarrow{AB} é paralelo a \vec v, então existe escalar t com
\overrightarrow{AB} = t\,(1,2)
e portanto
B = A + \overrightarrow{AB} = (-1,-3) + (t,2t) = (-1 + t,\,-3 + 2t).
A distância \lVert \overrightarrow{AB}\rVert vale
\lVert \overrightarrow{AB}\rVert = \lvert t\rvert\sqrt{1^2 + 2^2} = \lvert t\rvert\sqrt{5}
e deve ser \sqrt{20}. Logo
\lvert t\rvert\sqrt{5} = \sqrt{20} \quad\Longrightarrow\quad \lvert t\rvert = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = 2.

Passo 3

Temos t = 2 ou t = -2. Para t=2,
B = (-1+2,\,-3+4) = (1,1),
que fica no primeiro quadrante. Para t=-2,
B = (-1-2,\,-3-4) = (-3,-7),
que está no terceiro quadrante. Assim escolhemos
B = (-3,-7).

Passo 4

O ponto C simétrico a B em relação a A satisfaz que A é ponto médio de BC. Logo
A = \frac{B + C}{2} \quad\Longrightarrow\quad C = 2A - B.
Calculando,
C = 2(-1,-3) - (-3,-7) = (-2,-6) - (-3,-7) = (-2+3,\,-6+7) = (1,1).

Resposta

(a) B = (-3,-7)
(b) C = (1,1)

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