(2.5 pontos) Encontre una base para o subespaço
[(1,0,1),(0,1,1),(2,-3,-1),(-1,4,3),(-4,-7,-11)] do \mathbb{R}^{3} noural.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores (1,0,1),\,(0,1,1),\,(2,-3,-1),\,(-1,4,3),\,(-4,-7,-11).
O conteúdo usado será o conceito de combinação linear, independência linear e eliminação de Gauss para extrair um subconjunto independente que ainda gere o mesmo espaço (ou seja, uma base).

Passo 2

Colocamos esses vetores como linhas de uma matriz e fazemos eliminação de Gauss para identificar linhas-pivô (vetores independentes):
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & -3 & -1 \\\\ -1 & 4 & 3 \\\\ -4 & -7 & -11 \end{pmatrix}.
Usando R_3\leftarrow R_3-2R_1, R_4\leftarrow R_4+R_1, R_5\leftarrow R_5+4R_1 obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -3 \\\\ 0 & 4 & 4 \\\\ 0 & -7 & -7 \end{pmatrix}.
Em seguida, com R_3\leftarrow R_3+3R_2, R_4\leftarrow R_4-4R_2, R_5\leftarrow R_5+7R_2 chegamos a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Da matriz escalonada vemos pivôs apenas nas linhas 1 e 2, logo o posto é 2. Isso significa que apenas os dois primeiros vetores originais são independentes e os demais podem ser escritos como combinação linear deles:
(2,-3,-1) = 2\,(1,0,1) \;-\;3\,(0,1,1),
(-1,4,3) = -1\,(1,0,1) \;+\;4\,(0,1,1),
(-4,-7,-11) = -4\,(1,0,1)\;-\;7\,(0,1,1).

Resposta

Uma base para o subespaço é
\bigl\{(1,0,1),\,(0,1,1)\bigr\}.

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