(2.5 pontos) Encontre una base para o subespaço [(1,0,1),(0,1,1),(2,-3,-1),(-1,4,3),(-4,-7,-11)] do \mathbb{R}^{3} noural.
Passo 1
O enunciado pede uma base para o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores (1,0,1),\,(0,1,1),\,(2,-3,-1),\,(-1,4,3),\,(-4,-7,-11).
O conteúdo usado será o conceito de combinação linear, independência linear e eliminação de Gauss para extrair um subconjunto independente que ainda gere o mesmo espaço (ou seja, uma base).
Passo 2
Colocamos esses vetores como linhas de uma matriz e fazemos eliminação de Gauss para identificar linhas-pivô (vetores independentes):
Da matriz escalonada vemos pivôs apenas nas linhas 1 e 2, logo o posto é 2. Isso significa que apenas os dois primeiros vetores originais são independentes e os demais podem ser escritos como combinação linear deles: