Considere os polinômios
, e
no espaço vetorial
de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Mostre que o conjunto
forma uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto de quatro polinômios
forma uma base para o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Para isso, precisamos usar conceitos de linearidade e base em álgebra linear. Vamos precisar verificar se esses quatro polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, os “vetores” são polinômios. Então, precisamos verificar duas coisas:
- Linearmente Independentes: Nenhum polinômio pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Geram
: Qualquer polinômio de grau no máximo 3 pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro polinômios.
Passo 3
Vamos começar verificando a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear desses polinômios que resulte no polinômio zero:
Substituindo os polinômios:
Expandindo:
Isso deve ser igual a zero para todos os valores de
, o que significa que os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
- Constante:
-
: -
: -
:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
-
→ -
→ -
→ → -
→ (já que todos os outros 's são zero)
Como a única solução é
, isso mostra que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos verificar se eles geram
. Sabemos que
tem dimensão 4 (os coeficientes de
). Já temos 4 polinômios linearmente independentes, o que, por definição, significa que eles formam uma base para
.
Resposta
Portanto, o conjunto
é uma base para
.