Considere os polinômios p1(x)=1, p2(x)=1+x, p3(x)=1-x^2, e p4(x)= 1-x-x^2-x^3 no espaço vetorial P3(R) de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Mostre que o conjunto p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) forma uma base para P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto de quatro polinômios forma uma base para o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Para isso, precisamos usar conceitos de linearidade e base em álgebra linear. Vamos precisar verificar se esses quatro polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, os “vetores” são polinômios. Então, precisamos verificar duas coisas:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum polinômio pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram : Qualquer polinômio de grau no máximo 3 pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro polinômios.

Passo 3

Vamos começar verificando a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear desses polinômios que resulte no polinômio zero:
a1 p1(x) + a2 p2(x) + a3 p3(x) + a4 p4(x) = 0
Substituindo os polinômios:
a1 (1) + a2 (1 + x) + a3 (1 - x^2) + a4 (1 - x - x^2 - x^3) = 0
Expandindo:
a1 + a2 + a3 + a4 + a2 x - a4 x - a3 x^2 - a4 x^2 - a4 x^3 = 0
Isso deve ser igual a zero para todos os valores de , o que significa que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
  • Constante:
  • :
  • :
  • :

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
  1. (já que todos os outros 's são zero)
Como a única solução é , isso mostra que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar se eles geram . Sabemos que tem dimensão 4 (os coeficientes de ). Já temos 4 polinômios linearmente independentes, o que, por definição, significa que eles formam uma base para .

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base para .

Exercícios relacionados