Dados os vetores u=(2,1,-1) e v=(1,-1, a), calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a raiz62

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores: u = (2, 1, -1) e v = (1, -1, a). A missão é encontrar o valor de a que faz a área do paralelogramo formado por esses vetores ser igual a raiz62. Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial e calcular a magnitude desse produto para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área do paralelogramo formado por dois vetores é igual à magnitude do produto vetorial deles. O produto vetorial de u e v é um novo vetor que a gente pode calcular usando a seguinte fórmula:
u times v = i & j & k 2 & 1 & -1 1 & -1 & a

Passo 3

Vamos calcular esse determinante passo a passo:
u times v = i cdot (1 cdot a - (-1) cdot (-1)) - j cdot (2 cdot a - (-1) cdot 1) + k cdot (2 cdot (-1) - 1 cdot 1)
Simplificando:
u times v = i (a - 1) - j (2a + 1) + k (-2 -1)
u times v = (a - 1)i - (2a + 1)j - 3k

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor:
|u times v| = raiz(a - 1)^2 + (2a + 1)^2 + (-3)^2
|u times v| = raiz(a^2 - 2a + 1) + (4a^2 + 4a + 1) + 9
|u times v| = raiz5a^2 + 2a + 11

Passo 5

Sabemos que a área deve ser igual a raiz62, então igualamos:
raiz5a^2 + 2a + 11 = raiz62
Elevando ambos os lados ao quadrado:
5a^2 + 2a + 11 = 62
5a^2 + 2a - 51 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 5, b = 2, e c = -51.
a = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 5 cdot (-51)2 cdot 5
a = -2 pm raiz4 + 102010
a = -2 pm raiz102410
a = -2 pm 3210
Assim, temos duas soluções:
a = -2 + 3210 = 3010 = 3
a = -2 - 3210 = -3410 = -3,4

Resposta

O valor de a que satisfaz a condição é a = 3 ou a = -3,4.

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