Nos seguintes casos determine se o conjunto de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial , dando a justificativa correta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e um conjunto definido como todos os vetores em onde a terceira coordenada é igual a 3. Nosso objetivo é determinar se é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar das condições que um conjunto deve satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial.
Passo 2
Um subespaço vetorial deve cumprir três condições principais:
Conter o vetor zero: O vetor zero de deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Conter o vetor zero. O vetor zero em 0 0 0 é . No conjunto , a condição é . Como no vetor zero , que não é igual a 3, o vetor zero não está em .
Passo 4
Já que a primeira condição não é satisfeita, não precisamos verificar as outras condições. Para um conjunto ser um subespaço vetorial, todas as três condições devem ser verdadeiras. Se uma delas falha, o conjunto não é um subespaço.
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero.