(lta 2011) A soma de todas as soluções da equação em C: z^2+|z|^2+i z-1=0 é igual a: d) -12.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação no conjunto dos números complexos C: z^2 + |z|^2 + i z - 1 = 0. O conteúdo envolvido aqui são números complexos e propriedades de equações polinomiais. Para resolver, vamos precisar trabalhar com a forma geral dos números complexos e manipular a equação para encontrar suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo z na forma z = x + i y, onde x e y são números reais. O módulo de z é dado por |z| = raizx^2 + y^2, mas para facilitar os cálculos, vamos usar |z|^2 = x^2 + y^2.

Passo 3

Substituindo z = x + i y e |z|^2 = x^2 + y^2 na equação original, temos:
(x + i y)^2 + (x^2 + y^2) + i (x + i y) - 1 = 0
Agora, vamos expandir os termos e separar as partes reais e imaginárias.

Passo 4

Expandindo (x + i y)^2:
(x + i y)^2 = x^2 + 2i x y + i^2 y^2 = x^2 - y^2 + 2i x y
Substituindo de volta na equação:
(x^2 - y^2 + 2i x y) + (x^2 + y^2) + i x - y - 1 = 0
Agrupando as partes reais e imaginárias:
  • Parte real: 2x^2 - 1
  • Parte imaginária: (2x y + x - y)

Passo 5

Agora temos o seguinte sistema de equações:
2x^2 - 1 = 0 2x y + x - y = 0
Resolvendo a primeira equação:
2x^2 - 1 = 0 Rightarrow x^2 = 12 Rightarrow x = pm raiz22
Para cada valor de x, resolvemos a segunda equação:
  1. Para x = raiz22:
    2 cdot raiz22 cdot y + raiz22 - y = 0 Rightarrow raiz2 y + raiz22 - y = 0 Rightarrow y (raiz2 - 1) = -raiz22 Rightarrow y = -raiz22raiz2 - 1 = -1 - raiz22
  2. Para x = -raiz22:
    2 cdot (-raiz22) y + (-raiz22) - y = 0 Rightarrow -raiz2 y - raiz22 - y = 0 Rightarrow y (-raiz2 - 1) = raiz22 Rightarrow y = raiz22-raiz2 - 1 = -1 + raiz22
Portanto, as soluções são:
z1 = raiz22 + i (-1 - raiz22) z2 = -raiz22 + i (-1 + raiz22)

Resposta

A soma de todas as soluções da equação é igual a -dfrac12.

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