(lta 2011) A soma de todas as soluções da equação em
:
é igual a: d)
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação no conjunto dos números complexos
:
. O conteúdo envolvido aqui são números complexos e propriedades de equações polinomiais. Para resolver, vamos precisar trabalhar com a forma geral dos números complexos e manipular a equação para encontrar suas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma
, onde
e
são números reais. O módulo de
é dado por
, mas para facilitar os cálculos, vamos usar
.
Passo 3
Substituindo
e
na equação original, temos:
Agora, vamos expandir os termos e separar as partes reais e imaginárias.
Passo 4
Expandindo
:
Substituindo de volta na equação:
Agrupando as partes reais e imaginárias:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 5
Agora temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Para cada valor de
, resolvemos a segunda equação:
-
Para
: -
Para
:
Portanto, as soluções são:
Resposta
A soma de todas as soluções da equação é igual a
.