(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo
é negativa é: e) 9 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o menor número inteiro positivo
onde a parte imaginária de um número complexo elevado a
fica negativa. O número complexo é . Vamos precisar entender como funciona a potência de números complexos e como identificar quando a parte imaginária deles é negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma polar, onde
é o ângulo (ou argumento) do complexo no plano. Isso facilita calcular potências usando a Fórmula de Moivre, que diz que:
Então, ao elevar o nosso número complexo à potência
, o novo argumento vai ser
vezes o argumento original.
Passo 3
No nosso caso, o argumento original é
. Ao aplicar a Fórmula de Moivre, temos:
A parte imaginária desse número complexo é . Queremos que essa parte seja negativa.
Passo 4
Agora, precisamos descobrir para quais valores de
a função seno fica negativa. Sabemos que o seno é negativo quando o ângulo está no terceiro ou quarto quadrante, ou seja, quando:
Vamos resolver essa desigualdade para
.
Passo 5
Vamos multiplicar todos os termos da desigualdade por
para isolar o
:
Como
precisa ser um número inteiro positivo, os valores possíveis são
.
Passo 6
Queremos o menor número inteiro que satisfaz essa condição, então o menor
é 9.
Resposta
O menor número inteiro positivo
é 9.