(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo (cos pi8+i cdot sen pi8)^n é negativa é: e) 9 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o menor número inteiro positivo onde a parte imaginária de um número complexo elevado a fica negativa. O número complexo é . Vamos precisar entender como funciona a potência de números complexos e como identificar quando a parte imaginária deles é negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma polar, onde z^n = cos(ntheta) + i cdot sen(ntheta) é o ângulo (ou argumento) do complexo no plano. Isso facilita calcular potências usando a Fórmula de Moivre, que diz que:
Então, ao elevar o nosso número complexo à potência , o novo argumento vai ser vezes o argumento original.

Passo 3

No nosso caso, o argumento original é (cos pi8 + i cdot sen pi8)^n = cos(n cdot pi8) + i cdot sen(n cdot pi8) . Ao aplicar a Fórmula de Moivre, temos:
A parte imaginária desse número complexo é . Queremos que essa parte seja negativa.

Passo 4

Agora, precisamos descobrir para quais valores de pi < n cdot pi8 < 2pi a função seno fica negativa. Sabemos que o seno é negativo quando o ângulo está no terceiro ou quarto quadrante, ou seja, quando:
Vamos resolver essa desigualdade para .

Passo 5

Vamos multiplicar todos os termos da desigualdade por 8 < n < 16 para isolar o :
Como precisa ser um número inteiro positivo, os valores possíveis são .

Passo 6

Queremos o menor número inteiro que satisfaz essa condição, então o menor é 9.

Resposta

O menor número inteiro positivo é 9.

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