Considere os polinômios p1(t)=1+t, p2(t)=1-t e p3(t)=2 (para todo t). Sem fazer conta, encontre uma relação de dependência linear entre p1, p2 e p3. Depois, encontre uma base para mathscrXp1, p2, p3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três polinômios:
  • p1(t) = 1 + t
  • p2(t) = 1 - t
  • p3(t) = 2 (para todo t )
A primeira parte da questão quer que a gente encontre uma relação de dependência linear entre esses polinômios sem fazer contas. Depois, temos que encontrar uma base para o espaço gerado por esses polinômios, que é mathscrXp1, p2, p3 .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como identificar uma base de um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre dependência linear. Três vetores (ou polinômios) são ditos linearmente dependentes se pelo menos um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação ap1 + bp2 + cp3 = 0 , onde nem todos os coeficientes a, b, c são zero.
No nosso caso, queremos encontrar tais coeficientes sem fazer contas complicadas. Vamos observar os polinômios:
  • p1(t) = 1 + t
  • p2(t) = 1 - t
  • p3(t) = 2
Perceba que p1(t) + p2(t) = (1 + t) + (1 - t) = 2 , que é exatamente p3(t) . Isso significa que:
p1 + p2 - p3 = 0
Então, temos uma relação de dependência linear: 1p1 + 1p2 - 1p3 = 0 .

Passo 3

Agora que identificamos a dependência linear, vamos determinar uma base para mathscrXp1, p2, p3 . Uma base é um conjunto de vetores (ou polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Já que p3 pode ser escrito como combinação linear de p1 e p2 , não precisamos dele na base. Então, vamos verificar se p1 e p2 são linearmente independentes.
Para serem independentes, não deve existir uma relação como ap1 + bp2 = 0 , a menos que a = b = 0 .
Assumindo a(1 + t) + b(1 - t) = 0 , temos:
(a + b) + (a - b)t = 0
Isso só é verdadeiro para todo t se a + b = 0 e a - b = 0 . Resolvendo:
a + b = 0
a - b = 0
Somando as duas equações: 2a = 0 => a = 0 . Substituindo em a + b = 0 : b = 0 .
Então, p1 e p2 são linearmente independentes e formam uma base para mathscrXp1, p2, p3 .

Resposta

A relação de dependência linear é p1 + p2 - p3 = 0 e uma base para mathscrXp1, p2, p3 é p1, p2 .

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