A partir das operaçōes nāo usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto R^2 é um Espaço VetoriaL. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nảo săo válidos.
Adiçăo: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1)=(c x1, y1), com c in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se o conjunto R^2 é um Espaço Vetorial usando operações que não são as usuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um Espaço Vetorial, quais são os axiomas que ele precisa cumprir e aplicar esses conceitos para ver se R^2 está de acordo ou não com esses axiomas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as operações definidas no problema:
  • Adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
  • Multiplicação por escalar: c(x1, y1) = (c x1, y1), onde c in R
Essas operações vão ser a base para checar se R^2 é um Espaço Vetorial.

Passo 3

Agora, vamos relembrar quais são os axiomas de um Espaço Vetorial. São 8 no total:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no espaço.
  2. Comutatividade da adição: u + v = v + u
  3. Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w
  4. Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que v + 0 = v
  5. Existência do inverso aditivo: Para todo v, existe -v tal que v + (-v) = 0
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação de um escalar por um vetor está no espaço.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: c(u + v) = cu + cv
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (c + d)u = cu + du
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: c(du) = (cd)u
  10. Existência do elemento neutro da multiplicação: 1u = u
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações que nos foram dadas.

Passo 4

1. Fechamento da adição:
Quando somamos dois vetores em R^2 usando a adição definida, o resultado (x1 + x2, y1 + y2) ainda está em R^2. Portanto, esse axioma é válido.
2. Comutatividade da adição:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1)
Logo, a adição é comutativa. Axioma válido.

Passo 5

3. Associatividade da adição:
Vamos verificar se [(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]:
[(x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)] = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
(x1, y1) + [(x2 + x3, y2 + y3)] = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
Os dois lados são iguais, então a associatividade da adição está garantida. Axioma válido.
4. Existência do elemento neutro:
Precisamos encontrar um vetor 0 tal que (x, y) + 0 = (x, y). Se 0 = (0, 0), então:
(x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y)
Portanto, o vetor zero existe. Axioma válido.

Passo 6

5. Existência do inverso aditivo:
Para cada (x, y), precisamos de um vetor -(x, y) = (-x, -y) tal que:
(x, y) + (-x, -y) = (x + (-x), y + (-y)) = (0, 0)
Então, o inverso aditivo existe. Axioma válido.
6. Fechamento da multiplicação por escalar:
Multiplicando um escalar c por (x, y):
c(x, y) = (c x, y)
O resultado (c x, y) ainda está em R^2. Axioma válido.

Passo 7

7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar se c((x1, y1) + (x2, y2)) = c(x1, y1) + c(x2, y2):
Esquerda:
c((x1 + x2, y1 + y2)) = (c(x1 + x2), y1 + y2)
Direita:
c(x1, y1) + c(x2, y2) = (c x1, y1) + (c x2, y2) = (c x1 + c x2, y1 + y2)
Comparando os dois lados:
(c(x1 + x2), y1 + y2) neq (c x1 + c x2, y1 + y2) a menos que c(x1 + x2) = c x1 + c x2
Na verdade, isso sempre é verdade para a primeira componente, mas a segunda componente não depende de c. Portanto, a igualdade só se mantém se y1 + y2 for igual a y1 + y2, o que sempre é verdade, mas a presença de c na primeira componente pode causar problemas em outros axiomas.
Isso nos leva a identificar que essa estrutura não cumpre completamente a distributividade necessária quando consideramos a multiplicação por escalares que afetam apenas uma das componentes.

Passo 8

8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se (c + d)(x, y) = c(x, y) + d(x, y):
Esquerda:
(c + d)(x, y) = ((c + d)x, y)
Direita:
c(x, y) + d(x, y) = (c x, y) + (d x, y) = (c x + d x, y + y) = ((c + d)x, 2y)
Claramente, ((c + d)x, y) neq ((c + d)x, 2y) a menos que y = 0, o que não é geral. Portanto, esse axioma não é válido.
9. Associatividade da multiplicação por escalar:
Vamos verificar se c(d(x, y)) = (cd)(x, y):
Esquerda:
c(d(x, y)) = c(d x, y) = (c d x, y)
Direita:
(cd)(x, y) = (c d x, y)
Aqui, os dois lados são iguais, então esse axioma é válido.
10. Existência do elemento neutro da multiplicação:
Verificamos se 1(x, y) = (1 x, y) = (x, y). Isso está correto, então o axioma é válido.

Resposta

Não, o conjunto R^2 com as operações definidas não é um Espaço Vetorial. Os axiomas que não são válidos são:
  • Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
  • Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.

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