A partir das operaçōes nāo usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto
é um Espaço VetoriaL. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nảo săo válidos.
Adiçăo:
Multiplicação por um escalar:
,
.
Adiçăo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se o conjunto
é um Espaço Vetorial usando operações que não são as usuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um Espaço Vetorial, quais são os axiomas que ele precisa cumprir e aplicar esses conceitos para ver se
está de acordo ou não com esses axiomas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as operações definidas no problema:
-
Adição:
-
Multiplicação por escalar:
, onde
Essas operações vão ser a base para checar se
é um Espaço Vetorial.
Passo 3
Agora, vamos relembrar quais são os axiomas de um Espaço Vetorial. São 8 no total:
- Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no espaço.
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que
- Existência do inverso aditivo: Para todo
, existe tal que - Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação de um escalar por um vetor está no espaço.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
- Associatividade da multiplicação por escalar:
- Existência do elemento neutro da multiplicação:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações que nos foram dadas.
Passo 4
1. Fechamento da adição:
Quando somamos dois vetores em
usando a adição definida, o resultado
ainda está em
. Portanto, esse axioma é válido.
2. Comutatividade da adição:
Logo, a adição é comutativa. Axioma válido.
Passo 5
3. Associatividade da adição:
Vamos verificar se
:
Os dois lados são iguais, então a associatividade da adição está garantida. Axioma válido.
4. Existência do elemento neutro:
Precisamos encontrar um vetor
tal que
. Se
, então:
Portanto, o vetor zero existe. Axioma válido.
Passo 6
5. Existência do inverso aditivo:
Para cada
, precisamos de um vetor
tal que:
Então, o inverso aditivo existe. Axioma válido.
6. Fechamento da multiplicação por escalar:
Multiplicando um escalar
por
:
O resultado
ainda está em
. Axioma válido.
Passo 7
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar se
:
Esquerda:
Direita:
Comparando os dois lados:
Na verdade, isso sempre é verdade para a primeira componente, mas a segunda componente não depende de
. Portanto, a igualdade só se mantém se
for igual a
, o que sempre é verdade, mas a presença de
na primeira componente pode causar problemas em outros axiomas.
Isso nos leva a identificar que essa estrutura não cumpre completamente a distributividade necessária quando consideramos a multiplicação por escalares que afetam apenas uma das componentes.
Passo 8
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se
:
Esquerda:
Direita:
Claramente,
a menos que
, o que não é geral. Portanto, esse axioma não é válido.
9. Associatividade da multiplicação por escalar:
Vamos verificar se
:
Esquerda:
Direita:
Aqui, os dois lados são iguais, então esse axioma é válido.
10. Existência do elemento neutro da multiplicação:
Verificamos se
. Isso está correto, então o axioma é válido.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações definidas não é um Espaço Vetorial. Os axiomas que não são válidos são:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.