Considere-se o ponto P=(-5,3,0); considerem-se as retas
(R):lx-2 z=-4 y-4 z=-3 (S):lx=-5+3 s y=-9-8 s z=0+1 s (s in R).
Determinar a equação do plano (T) que contém o ponto P e a reta (R).

Passo 1

O enunciado dá o ponto
Queremos o plano e toda a reta . Para isso, vamos:
– achar um vetor diretor de ;
– escolher um ponto em ;
– usar os vetores e para obter o normal de ;
– montar a equação de .

Passo 2

As duas equações de (R) podem ser vistas como interseção de dois planos de normais (1,0,-2) e (0,1,-4). O vetor diretor vR é dado pelo produto vetorial dessas normais:
vR = (1,0,-2)times(0,1,-4) = i & j & k [6pt]1&0&-2[4pt]0&1&-4 =(2,4,1)
Um ponto Q em (R) obtém-se, por exemplo, fazendo z=0 na reta, o que dá x=-4, y=-3. Assim Q=(-4,-3,0).]

Passo 3

Calculemos o vetor que liga P a Q:
PQ =Q - P =(-4,-3,0)-(-5,3,0) =(1,-6,0)

Passo 4

O vetor normal vec n ao plano (T) é perpendicular a vec vR e a PQ, logo
vec n =vec vRtimesPQ =(2,4,1)times(1,-6,0) = i& j& k2&4&11&-6&0 =(6,1,-16)

Passo 5

A equação de um plano com normal vec n=(6,1,-16) que passa por P=(-5,3,0) é
6(x+5)+1(y-3)-16(z-0)=0
Distribuindo,
6x+30+y-3-16z=0 Longrightarrow 6x+y-16z+27=0

Resposta

A equação do plano (T) é
6x+y-16z+27=0

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