Considere-se o ponto P=(-5,3,0); considerem-se as retas
(R):lx-2 z=-4 y-4 z=-3 (S):lx=-5+3 s y=-9-8 s z=0+1 s (s in R).
Mostrar que o plano (Q): x-3 z+5=0 contém o ponto P e a reta (S).

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(-5,3,0), a reta S em forma paramétrica
S: x=-5+3s, y=-9-8s, z=s(sinR)
e o plano Q pela equação cartesiana
x - 3z + 5 = 0
Para mostrar que Q contém P e a reta S, basta verificar que as coordenadas de P satisfazem a equação de Q e que o ponto genérico da reta S também satisfaz essa mesma equação para todo s.

Passo 2

Verificamos se P pertence a Q substituindo as coordenadas de P na equação de Q:
x-3z+5 = (-5) -3cdot0 +5 = -5 +5 = 0
Como o resultado é zero, concluímos que
Pin Q

Passo 3

Tomemos um ponto genérico M(s) da reta S, cujas coordenadas são
M(s)=l(x(s),y(s),z(s)r)=l(-5+3s,,-9-8s,;sr)
Substituindo x(s) e z(s) na equação de Q obtemos
x(s) - 3,z(s) +5 = l(-5+3sr) -3cdot s +5 = -5 +3s -3s +5 = 0
Isso vale para todo sinR, logo cada ponto de S satisfaz a equação de Q, ou seja,
Ssubset Q

Passo 4

Como P satisfaz a equação de Q e todo ponto de S também a satisfaz, concluímos que o plano Q contém o ponto P e a reta S.

Resposta

O plano Qcolon x - 3z + 5 = 0 contém o ponto P e a reta S.

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