Considere-se o ponto P=(-5,3,0); considerem-se as retas
(R):lx-2 z=-4 y-4 z=-3 (S):lx=-5+3 s y=-9-8 s z=0+1 s (s in R).
Mostrar que o ponto P não pertence a (R) e não pertence a reta (S).

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o ponto
e duas retas no espaço:
**Reta
e **reta pertence a cada reta, basta (i) no caso de , substituir as coordenadas de nas duas equações e checar se ambas são satisfeitas; e (ii) no caso de , tentar encontrar um parâmetro que reproduza as três coordenadas de .

Passo 2

Testando a pertença de P à reta (R): substituímos x=-5, y=3 e z=0 em cada equação de (R).
  1. Na primeira equação
x - 2z = -5 - 2cdot0 = -5
mas o lado direito exige -4. Logo
-5 neq -4,
essa equação não se satisfaz.
  1. Na segunda equação
y - 4z = 3 - 4cdot0 = 3
mas o lado direito exige -3. Logo
3 neq -3
Como uma reta no espaço exige que todas as equações sejam simultaneamente verdadeiras, P não pertence à reta (R).

Passo 3

Testando a pertença de P à reta (S): da terceira equação paramétrica temos
z = s Longrightarrow s = 0
para obter z=0. Com s=0, as outras coordenadas da reta seriam
x = -5 + 3cdot0 = -5, y = -9 - 8cdot0 = -9
Isso gera o ponto (-5,,-9,,0), cujo y não coincide com y=3 de P. Logo não há valor de s que produza simultaneamente as três coordenadas de P, e portanto P não pertence à reta (S).

Resposta

P não pertence nem à reta (R) nem à reta (S).

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