Considere-se o ponto P=(-5,3,0); considerem-se as retas
(R):lx-2 z=-4 y-4 z=-3 (S):lx=-5+3 s y=-9-8 s z=0+1 s (s in R).
Determinar uma representação paramétrica da reta (U) que contém o ponto P e concorrente com as retas (R) e (S). SUGESTÃO: Usar os dois planos dos itens anteriores. Justificar a construção da reta.

Passo 1

O enunciado pede a reta
Para construí-la, vamos usar a ideia de que, dado um ponto e uma reta, existe um plano que os contém. Se montarmos o plano e a reta e o plano que contém e a reta , então .

Passo 2

Montar o plano alpha que contém P e a reta (S).
Escolhemos um ponto de (S), digamos S0=(-5,-9,0), e o vetor diretor de (S), vS=(3,-8,1).
O vetor PS0=S0-P=(0,-12,0).
O normal de alpha é
nalpha= vStimesPS0 =(3,-8,1)times(0,-12,0) =(-12,0,36)sim(-1,0,3)
Logo a equação de alpha é
-1,(x+5)+0,(y-3)+3,(z-0)=0 Longrightarrow x-3z+5=0

Passo 3

Montar o plano beta que contém P e a reta (R).
Na reta (R) tomamos dois pontos: para z=0 temos A=(-4,-3,0) e para z=1 temos B=(-2,1,1).
Então
PA=A-P=(1,-6,0) e
PB=B-P=(3,-2,1).
O normal de beta é
nbeta =PAtimesPB =(1,-6,0)times(3,-2,1) =(-6,-1,16)
A equação de beta passa por P e satisfaz
-6(x+5)-1(y-3)+16(z-0)=0 Longrightarrow 6x+y-16z+27=0

Passo 4

A reta
Da primeira equação vem , obtemos a forma paramétrica
que realmente passa por em e intersecta e em outros valores de .

Resposta

A reta (U) pode ser descrita por
boxed x=-5+3t, y=3-2t, z=t, tinR

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