Questão 5 ( 1,0 ponto): Encontre o plano Q, que é paralelo ao plano
P=(x, y, z) in R^3 mid 3 x+5 y+6 z=3 y+8 z-342
e que passa pelo ponto q=(-3,2,2).
Q=v in R^3 mid square cdot v=square

Passo 1

O enunciado pede o plano Q paralelo ao dado
P=(x,y,z)inR^3mid 3x+5y+6z=3y+8z-342
e que passa por vec q=(-3,2,2). O conteúdo é equação de plano em R^3: para planos paralelos basta usar o mesmo vetor normal.

Passo 2

Colocamos a equação de P em forma padrão ax+by+cz=d. Da igualdade
3x+5y+6z=3y+8z-342
subtraímos 3y+8z de ambos os lados, obtendo
3x+(5y-3y)+(6z-8z)= -342
ou seja
3x+2y-2z=-342

Passo 3

Da forma 3x+2y-2z=-342 vemos que o vetor normal a P é
vec n=(3,2,-2)

Passo 4

Como Q deve ser paralelo a P, seu vetor normal também é vec n=(3,2,-2). E a equação geral de Q é
3x+2y-2z=D,
onde D será determinado para que Q passe por vec q=(-3,2,2).

Passo 5

Impondo que vec q satisfaz a equação de Q, temos
3(-3)+2cdot2-2cdot2 =-9+4-4=-9
Logo D=-9.

Resposta

Q=vec vinR^3mid(3,2,-2)cdotvec v=-9

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