Questão 6(1,0 ponto): Considere os vetores w=(1,2,3), k=(1,1,1) e h=(1,1,0). Então, o vetor a in R^3 tal que para todo v in R^3,
det(v+w, w, k+v+h)=a cdot v
é
a=square

Passo 1

O enunciado pede um vetor ainR^3 tal que, para todo vinR^3,
det(v+w,,w,,k+v+h) =acdotv,
sendo w=(1,2,3), k=(1,1,1) e h=(1,1,0).
O conteúdo principal aqui é usar a linearidade do determinante (produto escalar triplo) em função de v.

Passo 2

Usamos a forma do produto escalar triplo:
det(x,y,z)=xcdot(ytimesz)
Logo
det(v+w,,w,,k+v+h) =(v+w)cdotl(wtimes(k+v+h)r)
Pela bilinearidade do produto vetorial,
wtimes(k+v+h) =wtimesk+wtimesv+wtimesh

Passo 3

Substituindo no produto escalar e distribuindo,
(v+w)cdotl(wtimesk+wtimesv+wtimeshr) =vcdot(wtimesk) +vcdot(wtimesv) +vcdot(wtimesh) ;+;wcdot(wtimesk) +wcdot(wtimesv) +wcdot(wtimesh)
Mas vcdot(wtimesv)=0 e wcdot(wtimesbul<=t)=0 sempre.
Restam apenas
vcdot(wtimesk) +vcdot(wtimesh) =vcdotl(wtimesk+wtimeshr)
Como não sobra termo constante, concluímos que
det(v+w,w,k+v+h) =l(wtimesk+wtimeshr)cdotv
Portanto
a=wtimesk+wtimesh

Passo 4

Calculamos separadamente os dois produtos vetoriais:
wtimesk =det i&j&k 1&2&3 1&1&1 =(-1,,2,,-1),
wtimesh =det i&j&k 1&2&3 1&1&0 =(-3,,3,,-1)

Passo 5

Somando os dois resultados:
a=(-1,2,-1)+(-3,3,-1)=(-4,5,-2)

Resposta

a=(-4,5,-2)

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