Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
,
e
são subespaços de .
Para isso usamos o critério padrão de subespaço: verificar que cada conjunto contém o vetor zero, é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação escalar.
são subespaços de
Para isso usamos o critério padrão de subespaço: verificar que cada conjunto contém o vetor zero, é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação para
:
- O vetor zero
satisfaz , logo . - Se
e estão em , então e . Logo
satisfaz
portanto
.
3. Para e
temos
e como
segue
, logo
.
Concluímos que é subespaço.
3. Para
Concluímos que
Passo 3
Verificação para
:
- O vetor zero
satisfaz e . - Se
e estão em , então
também tem primeiras coordenadas zero, logo está em . - Para
e ,
mantém e .
Portantoé subespaço.
Passo 4
Verificação para
:
- No vetor zero
vale . - Se
e em , então e . Assim
satisfaz
logo
.
3. Para e
,
3. Para
e
Portanto
e
é subespaço.
Resposta
Os três conjuntos
,
e
satisfazem as condições de conter o vetor zero, serem fechados sob soma e sob multiplicação escalar. Logo, todos são subespaços vetoriais de
.