Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços vetoriais
U=(x, y, z, t) in R^4 ; 2 x+y-t e z=0
& U=(x, y, z) ; x=z & V=(x, y, z) ; x=y=0 & W=(x, y, z) ; x+y+z=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
U=(x,y,z)inR^3mid x=z,
V=(x,y,z)inR^3mid x=0,;y=0 e
W=(x,y,z)inR^3mid x+y+z=0
são subespaços de R^3.
Para isso usamos o critério padrão de subespaço: verificar que cada conjunto contém o vetor zero, é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação para U=(x,y,z)mid x=z:
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0=0, logo (0,0,0)in U.
  2. Se u=(x,y,z) e v=(x',y',z') estão em U, então x=z e x'=z'. Logo
u+v=(x+x',,y+y',,z+z')
satisfaz
(x+x')=(z+z'),
portanto u+vin U.
3. Para lambdainR e u=(x,y,z)in U temos lambdau=(lambda x,lambda y,lambda z) e como x=z segue lambda x=lambda z, logo lambdauin U.
Concluímos que U é subespaço.

Passo 3

Verificação para V=(x,y,z)mid x=0,;y=0:
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz x=0 e y=0.
  2. Se u=(0,0,z) e v=(0,0,z') estão em V, então
    u+v=(0,0,z+z') também tem primeiras coordenadas zero, logo está em V.
  3. Para lambdainR e u=(0,0,z),
    lambdau=(0,0,lambda z) mantém x=0 e y=0.
    Portanto V é subespaço.

Passo 4

Verificação para W=(x,y,z)mid x+y+z=0:
  1. No vetor zero (0,0,0) vale 0+0+0=0.
  2. Se u=(x,y,z) e v=(x',y',z') em W, então x+y+z=0 e x'+y'+z'=0. Assim
u+v=(x+x',,y+y',,z+z')
satisfaz
(x+x')+(y+y')+(z+z')=(x+y+z)+(x'+y'+z')=0+0=0,
logo u+vin W.
3. Para lambdainR e u=(x,y,z)in W,
lambdau=(lambda x,lambda y,lambda z)
e
lambda x+lambda y+lambda z =lambda(x+y+z)=lambdacdot0=0
Portanto lambdauin W e W é subespaço.

Resposta

Os três conjuntos U, V e W satisfazem as condições de conter o vetor zero, serem fechados sob soma e sob multiplicação escalar. Logo, todos são subespaços vetoriais de R^3.

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