Determine as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r e s, e é ortogonal ao plano que contém as retas r e s.
r:\left\{\begin{array}{l} y=2 x-3 \\\ z=4 x-10 \end{array} \quad s:\left\{x-1=\frac{4-y}{3}=\frac{5-z}{7}\right.\right.

Passo 1

O problema está em geometria analítica e pede a reta que passa pelo ponto de interseção de duas retas r e s e é ortogonal ao plano que contém essas duas retas. Para resolver, vamos:
  1. Parametrizar r e s, obtendo seus vetores diretores \mathbf v_r e \mathbf v_s.
  2. Determinar o ponto de interseção P.
  3. Calcular o vetor normal \mathbf n ao plano gerado por \mathbf v_r e \mathbf v_s via produto vetorial.
  4. Escrever a reta com direção \mathbf n passando por P.

Passo 2

Parametrizamos a reta
r:\begin{cases} x=t,\\\ y=2t-3,\\\ z=4t-10, \end{cases}
de onde obtemos
\mathbf v_r=(1,2,4)
e um ponto em r, por exemplo A=(0,-3,-10).
Para a reta
s:\;x-1=\frac{4-y}{3}=\frac{5-z}{7}=\lambda,
tomamos
x=1+\lambda,\quad y=4-3\lambda,\quad z=5-7\lambda,
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\mathbf v_s=(1,-3,-7)
e um ponto em s é B=(1,4,5).

Passo 3

Para achar o ponto de interseção P=(x,y,z), igualamos as parametrizações:
(t,\,2t-3,\,4t-10)=(1+\lambda,\,4-3\lambda,\,5-7\lambda).
Da primeira coordenada vem t=1+\lambda. Substituindo na segunda:
2(1+\lambda)-3=4-3\lambda \;\Longrightarrow\;-1+2\lambda=4-3\lambda \;\Longrightarrow\;5\lambda=5 \;\Longrightarrow\;\lambda=1,
portanto t=2. Assim
P=(2,\,2\cdot2-3,\,4\cdot2-10)=(2,1,-2).

Passo 4

O vetor normal ao plano que contém r e s é
\mathbf n=\mathbf v_r\times\mathbf v_s =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 1&2&4\\\\ 1&-3&-7 \end{vmatrix} =(-2,\,11,\,-5).
Podemos também usar (2,-11,5), que é -\mathbf n.

Passo 5

A reta procurada passa por P=(2,1,-2) e tem direção \mathbf n=(-2,11,-5). Em equação reduzida:
\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{11}=\frac{z+2}{-5}.

Resposta

\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{11}=\frac{z+2}{-5}.

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