Considere um ponto P do plano cartesiano, situado no 1^circ quadrante, pertencente à reta de equação y=2 x, e cuja distância à reta y=x é igual a raiz2. A soma das coordenadas de P é:
Resposta: square

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria no plano cartesiano. Temos um ponto P no primeiro quadrante que está na reta de equação y = 2x . A distância desse ponto até a reta y = x é igual a raiz2 . Nosso objetivo é encontrar a soma das coordenadas de P .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o ponto P está na reta y = 2x . Isso significa que se P tem coordenadas (x, y) , então y = 2x .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância de P até a reta y = x . A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0) até uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2
No caso da reta y = x , podemos reescrever como x - y = 0 , então A = 1 , B = -1 e C = 0 .

Passo 4

Substituindo as coordenadas de P na fórmula da distância:
d = |1 cdot x + (-1) cdot y + 0|raiz1^2 + (-1)^2 = |x - y|raiz2
Sabemos que y = 2x , então:
d = |x - 2x|raiz2 = |-x|raiz2 = xraiz2
Como estamos no primeiro quadrante, x é positivo.

Passo 5

Sabemos que a distância d é igual a raiz2 , então:
xraiz2 = raiz2
Multiplicando ambos os lados por raiz2 :
x = 2

Passo 6

Agora que encontramos x = 2 , podemos encontrar y usando a equação da reta y = 2x :
y = 2 cdot 2 = 4

Resposta

A soma das coordenadas de P é 2 + 4 = 6 .

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