A=(ccc a1 & a2 & a3 0 & a4 & a5 0 & 0 & a6 ) in M3 times 3(R)
em que a4=10, det(A)=-1000 e a1, a2, a3, a4, a5 e a6 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão d>0. Pod se afirmar que a1d é igual a:
Resposta: square

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz triangular superior A de ordem 3 times 3 com elementos que formam uma progressão aritmética (PA). Sabemos que a4 = 10 , o determinante de A é -1000 e a razão da PA é d > 0 . Nosso objetivo é encontrar o valor de a1d .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. No caso da matriz A :
det(A) = a1 times a4 times a6

Passo 3

Sabemos que det(A) = -1000 e a4 = 10 . Substituindo na fórmula do determinante:
a1 times 10 times a6 = -1000 implies a1 times a6 = -100

Passo 4

Agora, vamos usar a informação de que os elementos a1, a2, a3, a4, a5, a6 formam uma progressão aritmética com razão d . Na PA, cada termo é dado por:
an = a1 + (n-1)d

Passo 5

Aplicando a fórmula da PA para os termos dados:
a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a1 + 2d a4 = a1 + 3d = 10 a5 = a1 + 4d a6 = a1 + 5d
Da equação a1 + 3d = 10 , podemos expressar a1 em função de d :
a1 = 10 - 3d

Passo 6

Usando a expressão de a1 , vamos encontrar a6 :
a6 = a1 + 5d = (10 - 3d) + 5d = 10 + 2d

Passo 7

Voltando à equação do determinante a1 times a6 = -100 , substituímos os valores encontrados:
(10 - 3d) times (10 + 2d) = -100
Agora, vamos resolver essa equação:
(10)(10) + 10(2d) - 3d(10) - 3d(2d) = -100 100 + 20d - 30d - 6d^2 = -100 -6d^2 - 10d + 100 = -100 -6d^2 - 10d + 200 = 0 6d^2 + 10d - 200 = 0 (Mu<iplicamos por -1) 3d^2 + 5d - 100 = 0 (Dividimos por 2)
Resolvendo a equação quadrática:
d = -5 pm raiz25 + 12006 = -5 pm raiz12256 = -5 pm 356
Como d > 0 :
d = 306 = 5

Passo 8

Agora que encontramos d = 5 , podemos calcular a1 :
a1 = 10 - 3d = 10 - 15 = -5
Finalmente, calculamos a1d :
a1d = -55 = -1

Resposta

-1

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