Um quadrado mágico é uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3, cujas somas dos termos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da diagonal secundária têm o mesmo valor, que é chamado de constante mágica. Estabeleça um sistema de equações que permita determinar os valores de e que tornam a matriz
um quadrado mágico e calcule esses valores.
x=
y=
z=
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um exercício sobre quadrados mágicos, que são matrizes quadradas onde a soma de cada linha, cada coluna, e as duas diagonais é igual. A missão é achar os valores de x , y e z que fazem a matriz dada ser um quadrado mágico. Para isso, vamos montar um sistema de equações baseado nas somas das linhas, colunas e diagonais iguais à constante mágica.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as linhas da matriz:
A=(ccc -2x + 3 & z + 9 & x + 2y + 1 x + y + 2 & -y + 8 & -x + 8 -4z + 5 & y - z + 1 & -x + z + 4 )
A soma de cada linha deve ser igual à constante mágica S .
Para a primeira linha:
(-2x + 3) + (z + 9) + (x + 2y + 1) = S
Simplificando:
-2x + 3 + z + 9 + x + 2y + 1 = S (-2x + x) + 2y + z + (3 + 9 + 1) = S - x + 2y + z + 13 = S (Equação 1) çã
Para a segunda linha:
(x + y + 2) + (-y + 8) + (-x + 8) = S
Simplificando:
x + y + 2 - y + 8 - x + 8 = S (x - x) + (y - y) + (2 + 8 + 8) = S 0 + 0 + 18 = S S = 18 (Constante Mágica) á
Passo 3
Agora que sabemos que S = 18 , podemos usar isso para encontrar x , y e z nas outras linhas, colunas e diagonais.
Vamos usar a primeira equação que tínhamos:
- x + 2y + z + 13 = 18 - x + 2y + z = 5 (Equação 2) çã
Passo 4
Vamos agora olhar para as colunas da matriz para montar mais equações.
Para a primeira coluna:
(-2x + 3) + (x + y + 2) + (-4z + 5) = 18
Simplificando:
-2x + 3 + x + y + 2 - 4z + 5 = 18 (-2x + x) + y - 4z + (3 + 2 + 5) = 18 - x + y - 4z + 10 = 18 - x + y - 4z = 8 (Equação 3) çã
Para a segunda coluna:
(z + 9) + (-y + 8) + (y - z + 1) = 18
Simplificando:
z + 9 - y + 8 + y - z + 1 = 18 (z - z) + (-y + y) + (9 + 8 + 1) = 18 0 + 0 + 18 = 18
Essa equação não nos dá informação adicional.
Para a terceira coluna:
(x + 2y + 1) + (-x + 8) + (-x + z + 4) = 18
Simplificando:
x + 2y + 1 - x + 8 - x + z + 4 = 18 (x - x - x) + 2y + z + (1 + 8 + 4) = 18 - x + 2y + z + 13 = 18 - x + 2y + z = 5 (Mesma da Equação 2) çã
Passo 5
Vamos agora considerar as diagonais da matriz.
Diagonal principal:
(-2x + 3) + (-y + 8) + (-x + z + 4) = 18
Simplificando:
-2x + 3 - y + 8 - x + z + 4 = 18 (-2x - x) - y + z + (3 + 8 + 4) = 18 -3x - y + z + 15 = 18 -3x - y + z = 3 (Equação 4) çã
Diagonal secundária:
(x + 2y + 1) + (-y + 8) + (-4z + 5) = 18
Simplificando:
x + 2y + 1 - y + 8 - 4z + 5 = 18 x + (2y - y) - 4z + (1 + 8 + 5) = 18 x + y - 4z + 14 = 18 x + y - 4z = 4 (Equação 5) çã
Passo 6
Agora temos um sistema de equações com:
- x + 2y + z = 5 (Equação 2)
- x + y - 4z = 8 (Equação 3)
-3x - y + z = 3 (Equação 4)
x + y - 4z = 4 (Equação 5)
Vamos resolver esse sistema para encontrar x , y e z .
Primeiro, da Equação 2 e Equação 5:
- x + 2y + z = 5 (Equação 2) x + y - 4z = 4 (Equação 5) çãçã