Um quadrado mágico é uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3, cujas somas dos termos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da diagonal secundária têm o mesmo valor, que é chamado de constante mágica. Estabeleça um sistema de equações que permita determinar os valores de x, y e z que tornam a matriz
A=(ccc -2 x+3 & z+9 & x+2 y+1 x+y+2 & -y+8 & -x+8 -4 z+5 & y-z+1 & -x+z+4 )
um quadrado mágico e calcule esses valores.
x=
y=
z=

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício sobre quadrados mágicos, que são matrizes quadradas onde a soma de cada linha, cada coluna, e as duas diagonais é igual. A missão é achar os valores de x , y e z que fazem a matriz dada ser um quadrado mágico. Para isso, vamos montar um sistema de equações baseado nas somas das linhas, colunas e diagonais iguais à constante mágica.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as linhas da matriz:
A=(ccc -2x + 3 & z + 9 & x + 2y + 1 x + y + 2 & -y + 8 & -x + 8 -4z + 5 & y - z + 1 & -x + z + 4 )
A soma de cada linha deve ser igual à constante mágica S .
Para a primeira linha:
(-2x + 3) + (z + 9) + (x + 2y + 1) = S
Simplificando:
-2x + 3 + z + 9 + x + 2y + 1 = S (-2x + x) + 2y + z + (3 + 9 + 1) = S - x + 2y + z + 13 = S (Equação 1) çã
Para a segunda linha:
(x + y + 2) + (-y + 8) + (-x + 8) = S
Simplificando:
x + y + 2 - y + 8 - x + 8 = S (x - x) + (y - y) + (2 + 8 + 8) = S 0 + 0 + 18 = S S = 18 (Constante Mágica) á

Passo 3

Agora que sabemos que S = 18 , podemos usar isso para encontrar x , y e z nas outras linhas, colunas e diagonais.
Vamos usar a primeira equação que tínhamos:
- x + 2y + z + 13 = 18 - x + 2y + z = 5 (Equação 2) çã

Passo 4

Vamos agora olhar para as colunas da matriz para montar mais equações.
Para a primeira coluna:
(-2x + 3) + (x + y + 2) + (-4z + 5) = 18
Simplificando:
-2x + 3 + x + y + 2 - 4z + 5 = 18 (-2x + x) + y - 4z + (3 + 2 + 5) = 18 - x + y - 4z + 10 = 18 - x + y - 4z = 8 (Equação 3) çã
Para a segunda coluna:
(z + 9) + (-y + 8) + (y - z + 1) = 18
Simplificando:
z + 9 - y + 8 + y - z + 1 = 18 (z - z) + (-y + y) + (9 + 8 + 1) = 18 0 + 0 + 18 = 18
Essa equação não nos dá informação adicional.
Para a terceira coluna:
(x + 2y + 1) + (-x + 8) + (-x + z + 4) = 18
Simplificando:
x + 2y + 1 - x + 8 - x + z + 4 = 18 (x - x - x) + 2y + z + (1 + 8 + 4) = 18 - x + 2y + z + 13 = 18 - x + 2y + z = 5 (Mesma da Equação 2) çã

Passo 5

Vamos agora considerar as diagonais da matriz.
Diagonal principal:
(-2x + 3) + (-y + 8) + (-x + z + 4) = 18
Simplificando:
-2x + 3 - y + 8 - x + z + 4 = 18 (-2x - x) - y + z + (3 + 8 + 4) = 18 -3x - y + z + 15 = 18 -3x - y + z = 3 (Equação 4) çã
Diagonal secundária:
(x + 2y + 1) + (-y + 8) + (-4z + 5) = 18
Simplificando:
x + 2y + 1 - y + 8 - 4z + 5 = 18 x + (2y - y) - 4z + (1 + 8 + 5) = 18 x + y - 4z + 14 = 18 x + y - 4z = 4 (Equação 5) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de equações com:
  1. - x + 2y + z = 5 (Equação 2)
  2. - x + y - 4z = 8 (Equação 3)
  3. -3x - y + z = 3 (Equação 4)
  4. x + y - 4z = 4 (Equação 5)
Vamos resolver esse sistema para encontrar x , y e z .
Primeiro, da Equação 2 e Equação 5:
- x + 2y + z = 5 (Equação 2) x + y - 4z = 4 (Equação 5) çãçã
Somando as duas equações:
(-x + x) + (2y + y) + (z - 4z) = 5 + 4 0 + 3y - 3z = 9 3y - 3z = 9 y - z = 3 (Equação 6) çã

Passo 7

Agora, da Equação 3 e Equação 6:
- x + y - 4z = 8 (Equação 3) y - z = 3 (Equação 6) çãçã
Da Equação 6, podemos expressar y em função de z :
y = z + 3
Substituindo na Equação 3:
- x + (z + 3) - 4z = 8 - x + z + 3 - 4z = 8 - x - 3z + 3 = 8 - x - 3z = 5 x + 3z = -5 (Equação 7) çã

Passo 8

Vamos usar a Equação 4 e a Equação 6 para encontrar mais relações:
-3x - y + z = 3 (Equação 4) y = z + 3 (Equação 6) çãçã
Substituindo y na Equação 4:
-3x - (z + 3) + z = 3 -3x - z - 3 + z = 3 -3x - 3 = 3 -3x = 6 x = -2

Passo 9

Com x = -2 , vamos usar a Equação 7 para encontrar z :
x + 3z = -5 -2 + 3z = -5 3z = -3 z = -1
Agora, com z = -1 , usamos a Equação 6 para achar y :
y = z + 3 = -1 + 3 = 2

Resposta

x = -2
y = 2
z = -1

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