e a interseção do cone com o cilindro , orientada no sentido anti horário quando projetada no plano .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha .
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde:
e é a interseção do cone com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
Matéria Envolvida:
Cálculo Vetorial
Integral de Linha
Teorema de Stokes
O que Vamos Precisar:
Aplicar o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície.
Calcular a rotacional (ou rotacional) do campo vetorial .
Escolher uma superfície adequada que tenha como contorno.
Parametrizar a superfície e calcular a integral de superfície resultante.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral de superfície da rotacional de sobre uma superfície que tem como contorno. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Por que Usar o Teorema de Stokes?
Simplifica o cálculo da integral de linha, transformando-a em uma integral de superfície que pode ser mais fácil de calcular dependendo da superfície escolhida.
Passo 3
Calculando a Rotacional de
A rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar , e do campo :
Agora, calculamos cada componente da rotacional:
(já que não depende de )
Portanto:
Passo 4
Escolhendo e Parametrizando a Superfície [S)
Precisamos escolher uma superfície cujo contorno seja , a interseção do cone com o cilindro .
Interseção das Superfícies:
O cilindro tem raio 2. Substituindo na equação do cone:
Então, a curva é um círculo de raio 2 no plano .
Escolha da Superfície :
Uma escolha conveniente para é a parte superior do cilindro no plano , pois é uma superfície plana e fácil de parametrizar.
Parametrização de :
Usaremos coordenadas polares para parametrizar :
onde .
Passo 5
Calculando o Vetor Normal à Superfície S e a Integral de Superfície
Primeiro, precisamos determinar o vetor normal dS à superfície S.
Como S está no plano z = 2, o vetor normal é na direção do eixo z:
n = lang<= 0, 0, 1 rang<=
Então,
dS = n , dS = lang<= 0, 0, 1 rang<= , r , dr , dtheta
Agora, a integral de superfície é:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS lang<= x e^y - 2 z e^y, e^x - e^y, -1 rang<= cdot lang<= 0, 0, 1 rang<= , r , dr , dtheta
Calculando o produto escalar:
(nabla times F) cdot n = -1
Portanto, a integral se simplifica para:
integral duplaS (-1) cdot r , dr , dtheta = - integral duplaS r , dr , dtheta
Passo 6
Calculando a Integral de Superfície
Agora, vamos calcular a integral dupla:
- integral0^2pi integral0^2 r , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^2 r , dr = [ 12 r^2 ]0^2 = 12 (4) - 0 = 2