Sejam
F=lang<= e^x z+y, z^2 e^y, x e^y+cos (3 z^2+1)rang<=
e C a interseção do cone z=raizx^2+y^2 com o cilindro x^2+y^2=4, orientada no sentido anti horário quando projetada no plano x y.
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha integralC F cdot d r.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde:
F = lang<= e^x z + y, z^2 e^y, x e^y + cos (3 z^2 + 1) rang<=
e C é a interseção do cone z = raizx^2 + y^2 com o cilindro x^2 + y^2 = 4, orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano xy.
Matéria Envolvida:
  • Cálculo Vetorial
  • Integral de Linha
  • Teorema de Stokes
O que Vamos Precisar:
  • Aplicar o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície.
  • Calcular a rotacional (ou rotacional) do campo vetorial F.
  • Escolher uma superfície adequada S que tenha C como contorno.
  • Parametrizar a superfície S e calcular a integral de superfície resultante.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha ointC F cdot dr sobre uma curva fechada C com uma integral de superfície da rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como contorno. A fórmula do Teorema de Stokes é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Por que Usar o Teorema de Stokes?
  • Simplifica o cálculo da integral de linha, transformando-a em uma integral de superfície que pode ser mais fácil de calcular dependendo da superfície escolhida.

Passo 3

Calculando a Rotacional de F
A rotacional de um campo vetorial F = lang<= P, Q, R rang<= é dado por:
nabla times F = lang<= partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y rang<=
Vamos identificar P, Q e R do campo F:
P = e^x z + y, Q = z^2 e^y, R = x e^y + cos(3 z^2 + 1)
Agora, calculamos cada componente da rotacional:
  1. partial Rpartial y = x e^y
  2. partial Qpartial z = 2 z e^y
  3. partial Ppartial z = e^x
  4. partial Rpartial x = e^y
  5. partial Qpartial x = 0 (já que Q não depende de x)
  6. partial Ppartial y = 1
Portanto:
nabla times F = lang<= x e^y - 2 z e^y, e^x - e^y, 0 - 1 rang<= = lang<= x e^y - 2 z e^y, e^x - e^y, -1 rang<=

Passo 4

Escolhendo e Parametrizando a Superfície [S)
Precisamos escolher uma superfície cujo contorno seja , a interseção do cone com o cilindro .
Interseção das Superfícies:
O cilindro tem raio 2. Substituindo na equação do cone:
Então, a curva é um círculo de raio 2 no plano .
Escolha da Superfície :
Uma escolha conveniente para é a parte superior do cilindro no plano , pois é uma superfície plana e fácil de parametrizar.
Parametrização de :
Usaremos coordenadas polares para parametrizar :
onde .

Passo 5

Calculando o Vetor Normal à Superfície S e a Integral de Superfície
Primeiro, precisamos determinar o vetor normal dS à superfície S.
Como S está no plano z = 2, o vetor normal é na direção do eixo z:
n = lang<= 0, 0, 1 rang<=
Então,
dS = n , dS = lang<= 0, 0, 1 rang<= , r , dr , dtheta
Agora, a integral de superfície é:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS lang<= x e^y - 2 z e^y, e^x - e^y, -1 rang<= cdot lang<= 0, 0, 1 rang<= , r , dr , dtheta
Calculando o produto escalar:
(nabla times F) cdot n = -1
Portanto, a integral se simplifica para:
integral duplaS (-1) cdot r , dr , dtheta = - integral duplaS r , dr , dtheta

Passo 6

Calculando a Integral de Superfície
Agora, vamos calcular a integral dupla:
- integral0^2pi integral0^2 r , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^2 r , dr = [ 12 r^2 ]0^2 = 12 (4) - 0 = 2
Agora, integramos em relação a theta:
- integral0^2pi 2 , dtheta = -2 [ theta ]0^2pi = -2 (2pi - 0) = -4pi

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale -4pi.

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