No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x^2+y^2=8, no ponto P de coordenadas (2,2), intercepta a reta de equação y=2 x no ponto:
Escolha uma opção:
(54, 104)
(76, 146)
(43, 83)
Nenhuma das demais alternativas
(65, 125)
(32, 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar onde a reta tangente à circunferência x^2 + y^2 = 8, no ponto P(2,2), cruza a reta y = 2x. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a circunferência, retas tangentes e interseção de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a circunferência dada pela equação x^2 + y^2 = 8. Essa é uma circunferência centrada na origem (0,0) com raio raiz8 = 2raiz2.

Passo 3

O ponto P(2,2) está na circunferência, pois substituindo na equação: 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8. Agora, para encontrar a reta tangente nessa circunferência no ponto P, precisamos achar sua inclinação.

Passo 4

A reta que liga o centro da circunferência (0,0) ao ponto P(2,2) é o raio. A inclinação desse raio é dada por:
mraio = 2 - 02 - 0 = 1

Passo 5

A reta tangente é perpendicular ao raio. Sabemos que duas retas perpendiculares têm inclinações que são negativas recíprocas. Portanto, a inclinação da tangente será:
mtan>=nte = -1mraio = -11 = -1

Passo 6

Agora que temos a inclinação da tangente m = -1 e sabemos que ela passa pelo ponto P(2,2), podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo os valores:
y - 2 = -1(x - 2)
Simplificando:
y = -x + 4

Passo 7

A próxima etapa é encontrar o ponto onde essa tangente intercepta a reta y = 2x. Para isso, igualamos as duas equações:
-x + 4 = 2x
Resolvendo para x:
-x + 4 = 2x
4 = 3x
x = 43

Passo 8

Agora que temos o valor de x, substituímos na equação y = 2x para encontrar y:
y = 2 times 43 = 83

Resposta

A reta tangente intercepta a reta y = 2x no ponto (43, 83).

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