Considere o ponto A=(1,2,-1) e a reta r:lx=6-lambda y=lambda z=9-2 lambda
Calcule a interseção entre a reta r e o plano pi2: 2 x-y+z-1=0. Em seguida, indique a posição relativa.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x = 6 - lambda, y = lambda, z = 9 - 2lambda,
e o plano pi2:2x - y + z - 1 = 0.
Precisamos encontrar o valor de lambda para o qual um ponto genérico de r pertence a pi2, isto é, substituir as coordenadas de r na equação do plano e resolver para lambda. Em seguida, calculamos o ponto de interseção e descrevemos a posição relativa entre reta e plano.

Passo 2

Substituindo
x = 6 - lambda, y = lambda, z = 9 - 2lambda
em
2x - y + z - 1 = 0
obtém-se
2(6 - lambda) ;-;lambda;+;(9 - 2lambda);-;1 ;=;0
Desenvolvendo, temos
12 - 2lambda - lambda + 9 - 2lambda - 1 = 0 Longrightarrow 20 - 5lambda = 0 Longrightarrow lambda = 4

Passo 3

Para lambda = 4, o ponto de r é
x = 6 - 4 = 2, y = 4, z = 9 - 2cdot4 = 1
Logo, o ponto de interseção é P = (2,4,1).

Passo 4

Como existe exatamente um valor de lambda que faz r pertencer a pi2, concluímos que a reta intersecta o plano em um único ponto. Em geometria, diz-se que a reta é secante ao plano.

Resposta

O ponto de interseção é P=(2,4,1) e, portanto, a reta r é secante ao plano pi2.

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