Considere as retas r: X=(1,1,2)+lambda(1,-1,0) e s: x-1=y-2=-z e o plano pi : 3 x-y+2 z-2=0.
Determine a posição relativa e a distância entre r e s.

Passo 1

O enunciado nos dá as retas
r:;X=(1,1,2)+lambda,(1,-1,0)
e
s:;x-1=y-2=-z,
e pede a posição relativa e a distância entre r e s. O plano pi não entra no cálculo pedido. Para resolver, vamos extrair vetores diretores, checar se as retas são paralelas ou se intersectam e, caso não haja interseção nem paralelismo (retas reversas), usar a fórmula da distância entre duas retas reversas em R^3.

Passo 2

Escrevemos s em forma paramétrica. Seja
t = x-1 = y-2 = -z
Então
x = 1 + t, y = 2 + t, z = -,t,
e um ponto e o vetor diretor de s são
B=(1,2,0), vs=(1,1,-1)
Para r temos o ponto
A=(1,1,2)
e o vetor diretor
vr=(1,-1,0)

Passo 3

Verificamos se vr e vs são proporcionais. Como
(1,-1,0)neq k,(1,1,-1) forall k,
elas não são paralelas. Para ver se se intersectam, igualamos parametricamente:
1+lambda = 1+t, 1-lambda = 2+t, 2 = -,t
Da primeira vem lambda=t. Substituindo na segunda dá 1-t=2+tRightarrow t=-tfrac12, mas na terceira teríamos 2=-(-tfrac12)=tfrac12, contradição. Logo não se intersectam.

Passo 4

Como não são paralelas nem se intersectam, concluímos que r e s são retas reversas.

Passo 5

A distância entre duas retas reversas pode ser calculada por
d = l|(B-A)cdot (vrtimes vs)r|l|vrtimes vsr|
Calculamos o produto vetorial:
vrtimes vs = i & j & k [3pt] 1 & -1 & 0 [3pt] 1 & 1 & -1 = (1,1,2),
com |vrtimes vs|=raiz1^2+1^2+2^2=raiz6.
E o vetor entre pontos
B-A = (1,2,0)-(1,1,2)=(0,1,-2) ]

Passo 6

Fazendo o produto escalar,
(B-A)cdot(vrtimes vs) = (0,1,-2)cdot(1,1,2) = 0+1-4 = -3,
portanto
d = l|-3r|raiz6 = 3raiz6 = raiz62

Resposta

As retas r e s são reversas (não paralelas e sem interseção) e a distância entre elas é 3raiz6=raiz62.

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