Considere as retas e e o plano : .
Determine a posição relativa e a distância entre e .
Passo 1
O enunciado nos dá as retas
e
e pede a posição relativa e a distância entre e . O plano não entra no cálculo pedido. Para resolver, vamos extrair vetores diretores, checar se as retas são paralelas ou se intersectam e, caso não haja interseção nem paralelismo (retas reversas), usar a fórmula da distância entre duas retas reversas em .
Passo 2
Escrevemos em forma paramétrica. Seja
Então
e um ponto e o vetor diretor de são
Para temos o ponto
e o vetor diretor
Passo 3
Verificamos se e são proporcionais. Como
elas não são paralelas. Para ver se se intersectam, igualamos parametricamente:
Da primeira vem . Substituindo na segunda dá , mas na terceira teríamos , contradição. Logo não se intersectam.
Passo 4
Como não são paralelas nem se intersectam, concluímos que e são retas reversas.
Passo 5
A distância entre duas retas reversas pode ser calculada por
Calculamos o produto vetorial:
vrtimes vs = i & j & k [3pt] 1 & -1 & 0 [3pt] 1 & 1 & -1 = (1,1,2),
com |vrtimes vs|=raiz1^2+1^2+2^2=raiz6.
E o vetor entre pontos