Considere as retas r: X=(1,1,2)+lambda(1,-1,0) e s: x-1=y-2=-z e o plano pi : 3 x-y+2 z-2=0.
Encontre o ângulo e a interseção entre r e pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta r por
X = (1,1,2) + lambda,(1,-1,0)
e o plano pi por
3x - y + 2z - 2 = 0
Pede o ângulo theta entre r e pi e o ponto de interseção de r com pi. Vamos usar a direção da reta, o vetor normal ao plano, a fórmula do ângulo linha-plano e a substituição paramétrica para achar a interseção.

Passo 2

Identificamos o vetor direção de r e o vetor normal de pi:
vec v = (1,-1,0), vec n = (3,-1,2)

Passo 3

Para o ângulo theta entre reta e plano, vale
sintheta = l|vec ncdotvec vr||vec n|;|vec v|
Calculamos:
vec ncdotvec v = 3cdot1 + (-1)cdot(-1) + 2cdot0 = 4, |vec v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2, |vec n| = raiz3^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz14
Logo
sintheta = 4raiz2,raiz14 = 4raiz28 = 2raiz7,
e portanto
theta = arcsin!l(tfrac2raiz7r)

Passo 4

Para achar a interseção, substituímos
x = 1 + lambda, y = 1 - lambda, z = 2
em 3x - y + 2z - 2 = 0:
3(1+lambda) - (1-lambda) + 2cdot2 - 2 = 0 ;Longrightarrow; 3 + 3lambda - 1 + lambda + 4 - 2 = 0 ;Longrightarrow; 4lambda + 4 = 0 ;Longrightarrow; lambda = -1

Passo 5

Com lambda = -1, o ponto de interseção é
x = 1 - 1 = 0, y = 1 + 1 = 2, z = 2
Logo o ponto é (0,2,2).

Resposta

Ângulo entre r e pi:
theta = arcsin!l(tfrac2raiz7r)
Ponto de interseção:
(0,,2,,2)

Exercícios relacionados