Sejam os vetores u=(-2,-1,1), v=(3, y,-1) e w=-2 i+2 j+2 k. Para que valores de reais de y o conjunto u, v, w é L.D.? Para y=0 calcule o produto misto [u, v, w].

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(-2,-1,1), v=(3,y,-1) e w=(-2,2,2).
Precisamos usar dois conceitos de Álgebra Linear:
  • Dependência/Independência linear de três vetores, que ocorre quando o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores é zero.
  • Produto misto [u,v,w], que é exatamente esse determinante.

Passo 2

O conjunto u,v,w é linearmente dependente se, e somente se,
[u,v,w] =det -2 & -1 & 1 3 & y & -1 -2 & 2 & 2 =0

Passo 3

Vamos calcular esse determinante por expansão na primeira linha:
det = -2dety & -12 & 2 ;-;(-1)det3 & -1-2 & 2 ;+;1det3 & y-2 & 2
Calculando cada menor:
dety & -12 & 2=2y+2, det3 & -1-2 & 2=6-2=4, det3 & y-2 & 2=6+2y
Logo
[u,v,w] =-2(2y+2)+1cdot4+(6+2y) =-4y-4+4+6+2y =6-2y

Passo 4

Para dependência linear impomos
6-2y=0 ;Longrightarrow; y=3

Passo 5

Para y=0, o produto misto vale
[u,v,w] =6-2cdot0 =6

Resposta

O conjunto é L.D. exatamente para y=3.
Para y=0, o produto misto vale 6.

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