Descreva as retas de \mathbb{R}^{3} que não têm pontos de interseção com o plano x y.

Passo 1

O enunciado pede para descrever todas as retas em \mathbb{R}^3 que não tenham ponto de interseção com o plano xy. O conteúdo envolvido é geometria analítica em \mathbb{R}^3: equação de planos e retas paramétricas.

Passo 2

O plano xy é dado por
z = 0.
Uma reta genérica em \mathbb{R}^3 pode ser escrita em forma paramétrica como
x = x_0 + a\,t,\quad y = y_0 + b\,t,\quad z = z_0 + c\,t,
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto inicial e (a,b,c) é o vetor diretor.

Passo 3

Para que a reta não intersecte o plano z=0, não pode existir t tal que
z(t) = z_0 + c\,t = 0.
Se c \neq 0, então t = -\,z_0/c resolveria z(t)=0. Logo, é necessário ter
c = 0.

Passo 4

Com c=0, a coordenada z é constante igual a z_0. Para que essa constante não seja zero (caso contrário a reta estaria inteira em z=0 e intersectaria o plano), deve valer
z_0 \neq 0.
Assim, a reta fica contida num dos planos paralelos a xy em altura z_0\neq 0, e seu vetor diretor é paralelo a esse plano.

Resposta

Todas as retas sem interseção com o plano xy\) são exatamente aquelas de equação paramétrica \[\begin{cases} x = x_0 + a\,t,\\\ y = y_0 + b\,t,\\\ z = z_0, \end{cases}
com z_0 \neq 0\] e \((a,b)\neq(0,0). Essas retas são paralelas ao plano z=0 e situadas em um nível constante z_0 diferente de zero.

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