Considere os pontos A=(1,1,2), B=(2,0,1) e C=(1,1,0).
(a) Apresente uma equação paramétrica para a reta \rho que passa por A e B.
(b) Apresente uma equação paramétrica para a reta \tau que passa por A e C.
(c) Determine o ângulo entre as retas \rho e \tau.
(d) Seja r a reta paralela à reta \rho que passa pelo ponto C. Determine uma equação paramétrica para r.
(e) Seja s a reta que passa pelo ponto C e é concorrente e perpendicular à reta \rho. Determine uma equação paramétrica para s.
(f) Determine s \cap \rho.
(g) Determine a equação do plano que contém A, B e C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3: \;A=(1,1,2), \;B=(2,0,1) e \;C=(1,1,0).
Vamos usar vectores diretores de retas (diferença de pontos), produto escalar e normas para calcular o ângulo, projeção ortogonal para a reta perpendicular e produto vetorial para obter a equação do plano.

Passo 2

Para a reta \rho que passa por A e B, o vetor diretor é
\overrightarrow{AB}=B - A = (2-1,\;0-1,\;1-2) = (1,-1,-1).
Logo a equação paramétrica de \rho é
(x,y,z) = (1,1,2) + t\,(1,-1,-1),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para a reta \tau que passa por A e C, o vetor diretor é
\overrightarrow{AC}=C - A = (1-1,\;1-1,\;0-2) = (0,0,-2).
Assim
(x,y,z) = (1,1,2) + s\,(0,0,-2),\quad s\in\mathbb{R}.

Passo 4

O ângulo \theta entre \rho e \tau satisfaz
\cos\theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {\|\overrightarrow{AB}\|\;\|\overrightarrow{AC}\|}.
Calculamos
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =(1)(0)+(-1)(0)+(-1)(-2)=2, \quad \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}, \quad \|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{0+0+4}=2.
Logo
\cos\theta=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

A reta r é paralela a \rho e passa por C. Mantemos o mesmo vetor diretor \overrightarrow{AB}:
(x,y,z) = (1,1,0) + t\,(1,-1,-1),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

A reta s passa por C, é perpendicular a \rho e concorre com ela. Primeiro projetamos C sobre \rho. Seja
t_0=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}} {\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}} =\frac{2}{3}, \quad D = A + t_0\,\overrightarrow{AB} =\Bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr).
O vetor diretor de s é \overrightarrow{CD}=D-C=(2/3,-2/3,4/3), que equivale a (1,-1,2). Assim
(x,y,z) = (1,1,0) + u\,(1,-1,2),\quad u\in\mathbb{R}.

Passo 7

O ponto de interseção s\cap\rho é justamente
D=\Bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 8

O plano que contém A,B,C tem duas direções \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, logo seu normal é
\overrightarrow{n} =\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =(1,-1,-1)\times(0,0,-2) =(2,2,0).
A equação do plano, usando A, é
2(x-1)+2(y-1)+0\,(z-2)=0 \;\Longrightarrow\; x+y-2=0.

Resposta

(a) (x,y,z)=(1,1,2)+t\,(1,-1,-1).
(b) (x,y,z)=(1,1,2)+s\,(0,0,-2).
(c) \theta=\displaystyle\operatorname{arccos}\frac{1}{\sqrt{3}}.
(d) (x,y,z)=(1,1,0)+t\,(1,-1,-1).
(e) (x,y,z)=(1,1,0)+u\,(1,-1,2).
(f) D=\bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).
(g) x+y-2=0.

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