Considere os pontos A=(1,1,2), B=(2,0,1) e C=(1,1,0).
(a) Apresente uma equação paramétrica para a reta \rho que passa por A e B.
(b) Apresente uma equação paramétrica para a reta \tau que passa por A e C.
(c) Determine o ângulo entre as retas \rho e \tau.
(d) Seja r a reta paralela à reta \rho que passa pelo ponto C. Determine uma equação paramétrica para r.
(e) Seja s a reta que passa pelo ponto C e é concorrente e perpendicular à reta \rho. Determine uma equação paramétrica para s.
(f) Determine s \cap \rho.
(g) Determine a equação do plano que contém A, B e C.
Passo 1
O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3: \;A=(1,1,2), \;B=(2,0,1) e \;C=(1,1,0).
Vamos usar vectores diretores de retas (diferença de pontos), produto escalar e normas para calcular o ângulo, projeção ortogonal para a reta perpendicular e produto vetorial para obter a equação do plano.
Passo 2
Para a reta \rho que passa por A e B, o vetor diretor é
\overrightarrow{AB}=B - A = (2-1,\;0-1,\;1-2) = (1,-1,-1).
A reta s passa por C, é perpendicular a \rho e concorre com ela. Primeiro projetamos C sobre \rho. Seja
t_0=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}} {\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}} =\frac{2}{3}, \quad D = A + t_0\,\overrightarrow{AB} =\Bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr).
O vetor diretor de s é \overrightarrow{CD}=D-C=(2/3,-2/3,4/3), que equivale a (1,-1,2). Assim