Considere os pontos \{(0.0,0.0),(0.63,0.60),(1.26,0.95),(1.88,0.95)\}. Usando o Polinômio de Newton construído a partir desses pontos, calcule a interpolação em \mathrm{x}=0.866.

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos e pede a interpolação (valor do polinômio interpolador) no ponto \mathrm{x}=0,866.
Pontos dados:
(0,0),(0,63,\,0,60),(1,26,\,0,95),(1,88,\,0,95).
O que é pedido:
\text{Calcular }P(0,866)\text{, onde }P(x)\text{ é o polinômio de Newton que interpola os quatro pontos dados.}éô

Passo 2

Vamos construir o polinômio de Newton em forma incremental usando diferenças divididas. Primeiro definimos as abscissas e ordenadas (colocadas em notação matemática):
x_0=0, \quad y_0=0;
x_1=0,63, \quad y_1=0,60;
x_2=1,26, \quad y_2=0,95;
x_3=1,88, \quad y_3=0,95.
Diferenças divididas de ordem 0 (os próprios y):
f[x_0]=y_0=0,\quad f[x_1]=y_1=0,60,\quad f[x_2]=y_2=0,95,\quad f[x_3]=y_3=0,95.
Diferenças divididas de primeira ordem (fórmula \displaystyle f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i}):
f[x_0,x_1]=\frac{0,60-0}{0,63-0}=\frac{0,60}{0,63}=\frac{60}{63}=\frac{20}{21}\approx 0,952380952381.
f[x_1,x_2]=\frac{0,95-0,60}{1,26-0,63}=\frac{0,35}{0,63}=\frac{35}{63}=\frac{5}{9}\approx 0,555555555556.
f[x_2,x_3]=\frac{0,95-0,95}{1,88-1,26}=\frac{0}{0,62}=0.
Diferenças divididas de segunda ordem (fórmula \displaystyle f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}):
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{\tfrac{5}{9}-\tfrac{20}{21}}{1,26-0} =\frac{\tfrac{35}{63}-\tfrac{60}{63}}{1,26} =\frac{-\tfrac{25}{63}}{1,26} =-\frac{25}{63}\cdot\frac{1}{1,26} =-\frac{1250}{3969}\approx -0,314965.
Observação: converti 1,26 em fração \tfrac{63}{50} internamente para obter -\tfrac{1250}{3969} como forma exata.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{0-\tfrac{5}{9}}{1,88-0,63} =\frac{-\tfrac{5}{9}}{1,25} =-\tfrac{5}{9}\cdot\tfrac{1}{1,25} =-\tfrac{5}{9}\cdot 0,8 =-\tfrac{4}{9}\approx -0,444444444444.
Diferença dividida de terceira ordem (fórmula \displaystyle f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}):
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{-\tfrac{4}{9}-\big(-\tfrac{1250}{3969}\big)}{1,88-0} =\frac{-\tfrac{1764}{3969}+\tfrac{1250}{3969}}{1,88} =\frac{-\tfrac{514}{3969}}{1,88} =-\frac{514}{3969}\cdot\frac{1}{1,88} =-\frac{12850}{186543}\approx -0,0688867.
Resumo das diferenças divididas (coeficientes do polinômio de Newton):
a_0=f[x_0]=0, \quad a_1=f[x_0,x_1]=\tfrac{20}{21}, \quad a_2=f[x_0,x_1,x_2]=-\tfrac{1250}{3969}, \quad a_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3]=-\tfrac{12850}{186543}.

Passo 3

Agora escrevemos o polinômio de Newton na forma:
P(x)=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Substituindo x_0,x_1,x_2 e os coeficientes:
P(x)=0 + \tfrac{20}{21}(x-0) -\tfrac{1250}{3969}(x-0)(x-0,63) -\tfrac{12850}{186543}(x-0)(x-0,63)(x-1,26).
Explicação rápida: cada termo acrescenta um fator (x-x_i) e o coeficiente a_k é a diferença dividida de ordem k. Na prova, memorize a forma e calcule as diferenças divididas em tabela para ler os a_k.

Passo 4

Agora avaliamos P em x=0,866 passo a passo.
Calcule os fatores simples:
x=0,866,
x-x_0=0,866-0=0,866,
x-x_1=0,866-0,63=0,236,
x-x_2=0,866-1,26=-0,394.
Termo de primeira ordem:
T_1=a_1(x-x_0)=\tfrac{20}{21}\cdot 0,866=\frac{17,32}{21}\approx 0,824761904762.
Termo de segunda ordem:
(x-x_0)(x-x_1)=0,866\cdot 0,236=0,204376.
T_2=a_2\cdot (x-x_0)(x-x_1) =-\tfrac{1250}{3969}\cdot 0,204376 \approx -0,0643656665.
Termo de terceira ordem:
(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)=0,866\cdot 0,236\cdot(-0,394)=-0,080524144.
T_3=a_3\cdot (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) =-\tfrac{12850}{186543}\cdot(-0,080524144) \approx +0,0055466896.
Some os termos (lembre que a_0=0):
P(0,866)=a_0 + T_1 + T_2 + T_3 \approx 0 + 0,824761904762 - 0,0643656665 + 0,0055466896.
Realizando a soma:
P(0,866)\approx 0,824761904762 - 0,0643656665 + 0,0055466896 \approx 0,7659429279.
Arredondando para um número conveniente (6 casas decimais) obtemos 0,765943.

Resposta

0,765943

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