Encontrar v_{31}, v_{32}, v_{33} usando a decomposição L U, detalhando o procedimento para obter o resultado. (Obs. O importante nesta questão é o detalhamento e não o valor numérico)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os três elementos desconhecidos da terceira coluna de A^{-1}, que são mostrados como v_{31}, v_{32}, v_{33} na matriz
e a igualdade A\cdot A^{-1}=I (a matriz identidade). O enunciado pede explicitamente que se use a decomposição A=LU e detalhe o procedimento (o valor numérico é secundário).
Passo 2
Entendimento prático do que precisamos calcular (sem resolver ainda). A multiplicação A\cdot A^{-1}=I implica que cada coluna c_j de A^{-1} é solução do sistema linear
A\,c_j = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor coluna da identidade. Em particular, a terceira coluna de A^{-1} (aquela que contém v_{31},v_{32},v_{33}) é a solução do sistema
Portanto, nosso objetivo é resolver A x = e_3 e os componentes de x serão exatamente v_{31},v_{32},v_{33} (na ordem: primeira, segunda e terceira entrada de x).
Passo 3
Por que usar LU e qual é a estratégia? Como A=LU, o sistema A x = e_3 se escreve
LUx = e_3.
Definindo y = Ux, obtemos o sistema em duas etapas (mais fáceis): primeiro resolver
L y = e_3
por substituição progressiva (forward substitution), depois resolver
U x = y
por substituição regressiva (backward substitution). Vou explicar cada técnica antes de aplicá-la:
Substituição progressiva: para uma matriz triangular inferior L com 1s na diagonal, cada equação isola diretamente uma incógnita em termos das anteriores já conhecidas.
Substituição regressiva: para matriz triangular superior U, começa-se pela última equação (que envolve só a última incógnita) e vai-se subindo, encontrando cada incógnita usando as já encontradas.
Essas técnicas são rápidas e podem ser feitas à mão, sem calculadora, por isso são usadas em provas.
Passo 4
Vamos escrever explicitamente o sistema L y = e_3 usando a matriz L dada:
Interpretação final: as entradas da terceira coluna de A^{-1} (na ordem: linha 1, linha 2, linha 3) são x_1,x_2,x_3. Em notação do enunciado isso significa