E4: [2,5] Dada a Matriz A e sua decomposição L U :
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 1 & 4 & 2 \end{array}\right], L=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 1 \end{array}\right], \quad U=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 7 \end{array}\right]
Sabendo-se que:
A \times A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 1 & 4 & 2 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{ccc} -1.4286 & 1.1429 & v_{31} \\\\ -0.4286 & -0.1429 & v_{32} \\\\ 1.5714 & -0.8521 & v_{33} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Encontrar v_{31}, v_{32}, v_{33} usando a decomposição L U, detalhando o procedimento para obter o resultado. (Obs. O importante nesta questão é o detalhamento e não o valor numérico)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os três elementos desconhecidos da terceira coluna de A^{-1}, que são mostrados como v_{31}, v_{32}, v_{33} na matriz
A^{-1}=\begin{bmatrix} -1.4286 & 1.1429 & v_{31} \\\\ -0.4286 & -0.1429 & v_{32} \\\\ 1.5714 & -0.8521 & v_{33} \end{bmatrix}.
As informações fornecidas e relevantes são:
A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 1 & 4 & 2 \end{bmatrix},\quad L=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 1 \end{bmatrix},\quad U=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix},
e a igualdade A\cdot A^{-1}=I (a matriz identidade). O enunciado pede explicitamente que se use a decomposição A=LU e detalhe o procedimento (o valor numérico é secundário).

Passo 2

Entendimento prático do que precisamos calcular (sem resolver ainda). A multiplicação A\cdot A^{-1}=I implica que cada coluna c_j de A^{-1} é solução do sistema linear
A\,c_j = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor coluna da identidade. Em particular, a terceira coluna de A^{-1} (aquela que contém v_{31},v_{32},v_{33}) é a solução do sistema
A\,x = e_3,\qquad e_3=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}.
Portanto, nosso objetivo é resolver A x = e_3 e os componentes de x serão exatamente v_{31},v_{32},v_{33} (na ordem: primeira, segunda e terceira entrada de x).

Passo 3

Por que usar LU e qual é a estratégia? Como A=LU, o sistema A x = e_3 se escreve
LUx = e_3.
Definindo y = Ux, obtemos o sistema em duas etapas (mais fáceis): primeiro resolver
L y = e_3
por substituição progressiva (forward substitution), depois resolver
U x = y
por substituição regressiva (backward substitution). Vou explicar cada técnica antes de aplicá-la:
  • Substituição progressiva: para uma matriz triangular inferior L com 1s na diagonal, cada equação isola diretamente uma incógnita em termos das anteriores já conhecidas.
  • Substituição regressiva: para matriz triangular superior U, começa-se pela última equação (que envolve só a última incógnita) e vai-se subindo, encontrando cada incógnita usando as já encontradas.
Essas técnicas são rápidas e podem ser feitas à mão, sem calculadora, por isso são usadas em provas.

Passo 4

Vamos escrever explicitamente o sistema L y = e_3 usando a matriz L dada:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1\y_2\y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\\ 0\\\ 1 \end{bmatrix}.
Agora escrevo cada equação desse sistema (uma por linha):
  • Primeira linha: 1\cdot y_1 + 0\cdot y_2 + 0\cdot y_3 = 0.
  • Segunda linha: 2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 + 0\cdot y_3 = 0.
  • Terceira linha: 1\cdot y_1 + 6\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = 1.

Passo 5

Resolver L y = e_3 por substituição progressiva:
  • Da primeira equação vem imediatamente
y_1 = 0.
  • Substituindo y_1 na segunda equação:
2\cdot 0 + y_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y_2 = 0.
  • Substituindo y_1 e y_2 na terceira equação:
0 + 6\cdot 0 + y_3 = 1 \quad\Rightarrow\quad y_3 = 1.
Portanto
y=\begin{bmatrix}y_1\y_2\y_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}.

Passo 6

Agora resolvemos U x = y com U dada e o y encontrado:
\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\x_2\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\\ 0\\\ 1 \end{bmatrix}.
Vou escrever as equações por linhas (para fazer substituição regressiva):
  • Terceira linha: 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 7\cdot x_3 = 1.
  • Segunda linha: 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 -1\cdot x_3 = 0.
  • Primeira linha: 1\cdot x_1 -2\cdot x_2 +1\cdot x_3 = 0.

Passo 7

Resolver por substituição regressiva (começando de baixo):
  • Da terceira equação:
7x_3 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \frac{1}{7}.
  • Usando x_3 na segunda equação:
x_2 - x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = x_3 = \frac{1}{7}.
  • Usando x_2 e x_3 na primeira equação:
x_1 - 2x_2 + x_3 = 0.
Substituindo x_2=x_3=\tfrac{1}{7}:
x_1 - 2\cdot\frac{1}{7} + \frac{1}{7} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 - \frac{1}{7} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{1}{7}.
Portanto
x=\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac{1}{7}\\[4pt]\tfrac{1}{7}\\[4pt]\tfrac{1}{7}\end{bmatrix}.]

Passo 8

Interpretação final: as entradas da terceira coluna de A^{-1} (na ordem: linha 1, linha 2, linha 3) são x_1,x_2,x_3. Em notação do enunciado isso significa
v_{31}=\tfrac{1}{7},\qquad v_{32}=\tfrac{1}{7},\qquad v_{33}=\tfrac{1}{7}.

Resposta

\displaystyle v_{31}=\tfrac{1}{7}
\displaystyle v_{32}=\tfrac{1}{7}
\displaystyle v_{33}=\tfrac{1}{7}

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