E3: [2,5] Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l} -x_{1}-x_{2}-4 x_{3}=-6 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-3 x_{3}=8 \\\\ -4 x_{1}-5 x_{2}-3 x_{3}=-8 \end{array}\right.
Use eliminação gaussiana para encontrar o valor de x, detalhando cada passo até a obtenção da solução.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de três equações lineares com três incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} -x_{1}-x_{2}-4 x_{3}=-6 \\[4pt] 4 x_{1}+3 x_{2}-3 x_{3}=8 \\[4pt] -4 x_{1}-5 x_{2}-3 x_{3}=-8 \end{array}\right.
O que se pede: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação (1): } -x_{1}-x_{2}-4x_{3}=-6,\\\ &\text{Equação (2): } 4x_{1}+3x_{2}-3x_{3}=8,\\\ &\text{Equação (3): } -4x_{1}-5x_{2}-3x_{3}=-8. \end{aligned}çãçãçã]

Passo 2

Primeiro passo prático: escrevemos a forma matricial aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, colunas aos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e a última coluna é o termo independente). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & -4 & -6\\[4pt] 4 & 3 & -3 & 8\\[4pt] -4 & -5 & -3 & -8 \end{array}\right].
Breve lembrete didático: operações elementares de linha que mantêm o sistema equivalente são (1) trocar duas linhas, (2) multiplicar uma linha por escalar não nulo, (3) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Usaremos essas operações para chegar a uma forma triangular (ou reduzida) de fácil leitura.]

Passo 3

Para facilitar, transformamos o pivô da primeira linha em 1. Aplicamos a operação R_{1}:=-R_{1} (multiplicar a linha 1 por -1). A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 6\\[4pt] 4 & 3 & -3 & 8\\[4pt] -4 & -5 & -3 & -8 \end{array}\right].
Explicação: ter 1 como pivô é conveniente porque ao eliminarmos coeficientes abaixo dele usamos multiplicações simples por esse 1.]

Passo 4

Eliminamos os coeficientes de x_{1} nas linhas 2 e 3 (torná-los zero abaixo do pivô). Fazemos
R_{2}:=R_{2}-4R_{1},\qquad R_{3}:=R_{3}+4R_{1}.
Calculando cada entrada:
  • Para R_{2}: [4,3,-3,8]-4\cdot[1,1,4,6]=[0,3-4,-3-16,8-24]=[0,-1,-19,-16].
  • Para R_{3}: [-4,-5,-3,-8]+4\cdot[1,1,4,6]=[0,-5+4,-3+16,-8+24]=[0,-1,13,16].
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 6\\[4pt] 0 & -1 & -19 & -16\\[4pt] 0 & -1 & 13 & 16 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora escolhemos o pivô na segunda coluna, que atualmente é -1 na linha 2. Tornamos esse pivô igual a 1 multiplicando a linha 2 por -1:
R_{2}:=-R_{2}.
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 19 & 16\\[4pt] 0 & -1 & 13 & 16 \end{array}\right].
Comentário: pivôs iguais a 1 facilitam as próximas eliminações porque basta somar/subtrair múltiplos inteiros.]

Passo 6

Eliminamos os demais coeficientes na coluna 2 (torná-los zero acima e abaixo do pivô em R_{2}). Aplicamos
R_{3}:=R_{3}+R_{2},\qquad R_{1}:=R_{1}-R_{2}.
Calculemos:
  • R_{3}=[0,-1,13,16]+[0,1,19,16]=[0,0,32,32].
  • R_{1}=[1,1,4,6]-[0,1,19,16]=[1,0,4-19,6-16]=[1,0,-15,-10].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -15 & -10\\[4pt] 0 & 1 & 19 & 16\\[4pt] 0 & 0 & 32 & 32 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora a terceira linha tem apenas uma incógnita ( x_{3}) com coeficiente 32. Para obter o pivô 1 dividimos a linha 3 por 32:
R_{3}:=\frac{1}{32}R_{3}.
Isso gera
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -15 & -10\\[4pt] 0 & 1 & 19 & 16\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
Interpretação: a terceira linha corresponde à equação 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}=1, então x_{3}=1. (Estamos obtendo isso através da forma escalonada.)]

Passo 8

Feita a terceira linha pivô igual a 1, eliminamos os coeficientes de x_{3} nas linhas 1 e 2 para ficar na forma reduzida. Aplicamos
R_{2}:=R_{2}-19R_{3},\qquad R_{1}:=R_{1}+15R_{3}.
Calculemos:
  • R_{2}=[0,1,19,16]-19\cdot[0,0,1,1]=[0,1,0,16-19]=[0,1,0,-3].
  • R_{1}=[1,0,-15,-10]+15\cdot[0,0,1,1]=[1,0,0,-10+15]=[1,0,0,5].
A matriz final em forma reduzida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
Da leitura direta desta matriz reduzida obtemos as equações elementares correspondentes:
\begin{aligned} &x_{1}=5,\\\ &x_{2}=-3,\\\ &x_{3}=1. \end{aligned}]

Passo 9

Verificação rápida (substituição nas equações originais) para conferir sem erro aritmético:
  • Na equação 1: -x_{1}-x_{2}-4x_{3} = -5 -(-3) -4\cdot1 = -5+3-4 = -6 correto.
  • Na equação 2: 4x_{1}+3x_{2}-3x_{3} = 4\cdot5 +3\cdot(-3) -3\cdot1 = 20-9-3 = 8 correto.
  • Na equação 3: -4x_{1}-5x_{2}-3x_{3} = -20 +15 -3 = -8 correto.

Resposta

x_{1}=5
x_{2}=-3
x_{3}=1

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