Considere os pontos A=(3,1,2), B=(1,0,1) e C=(3,1,1).
Ache equaçôes paramétricas da reta r que passa por A é é paralela à reta s que passa pelos pontos B e C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente tem três pontos: A = (3,1,2) , B = (1,0,1) e C = (3,1,1) . O objetivo é encontrar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A e é paralela à reta s que passa pelos pontos B e C . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a direção da reta s . Como a reta é definida pelos pontos B e C , podemos encontrar o vetor diretor da reta subtraindo as coordenadas desses pontos.
O vetor diretor v da reta s é dado por:
v = C - B = (3-1, 1-0, 1-1) = (2, 1, 0)
Esse vetor nos indica a direção na qual a reta s segue.

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor da reta [s), vamos usar esse mesmo vetor para definir a reta , já que precisa ser paralela a . A reta passa pelo ponto , então vamos usar como ponto de partida.
A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde são as componentes do vetor diretor.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto A = (3,1,2) serve como (x0, y0, z0)
  • Vetor diretor v = (2,1,0)
Então, as equações paramétricas da reta r ficam:
x = 3 + 2t y = 1 + t z = 2 + 0t
Que simplificam para:
x = 3 + 2t y = 1 + t z = 2

Resposta

As equações paramétricas da reta [r) são:
onde (t] é um parâmetro real.

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