Considere os pontos A=(3,1,2), B=(1,0,1) e C=(3,1,1).
O ponto D=(-5,-3,2) pertence a reta r ? E a reta s ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: A = (3,1,2) , B = (1,0,1) , C = (3,1,1) e D = (-5,-3,2) . A pergunta quer saber se o ponto D pertence à reta r e à reta s . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equação paramétrica de reta e verificação de pontos em retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar como são definidas as retas r e s . Normalmente, uma reta no espaço é determinada por dois pontos. Vamos supor que:
  • A reta r é a reta que passa pelos pontos A e B .
  • A reta s é a reta que passa pelos pontos A e C .

Passo 3

Vamos encontrar as equações paramétricas para as retas r e s .
Para a reta r que passa por A e B :
Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta r :
AB = B - A = (1-3, 0-1, 1-2) = (-2, -1, -1)
A equação paramétrica da reta r é então:
r(t) = A + t cdot AB = (3,1,2) + t cdot (-2,-1,-1)
Isso dá:
x = 3 - 2t y = 1 - t z = 2 - t
Para a reta s que passa por A e C :
Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta s :
AC = C - A = (3-3, 1-1, 1-2) = (0, 0, -1)
A equação paramétrica da reta s é então:
s(t) = A + t cdot AC = (3,1,2) + t cdot (0,0,-1)
Isso dá:
x = 3 y = 1 z = 2 - t

Passo 4

Agora, vamos verificar se o ponto D = (-5,-3,2) está na reta r . Para isso, substituímos as coordenadas de D nas equações paramétricas da reta r e tentamos resolver para t .
-5 = 3 - 2t (1) -3 = 1 - t (2) 2 = 2 - t (3)
Resolvendo a equação (3):
2 = 2 - t Rightarrow t = 0
Usando t = 0 na equação (2):
-3 = 1 - 0 Rightarrow -3 = 1 (Não é verdade) ãé
Como não conseguimos um valor de t que satisfaça todas as equações simultaneamente, o ponto D não está na reta r .

Passo 5

Agora, vamos verificar se o ponto D = (-5,-3,2) está na reta s . Substituímos as coordenadas de D nas equações paramétricas da reta s :
-5 = 3 (1) -3 = 1 (2) 2 = 2 - t (3)
As equações (1) e (2) já mostram que -5 neq 3 e -3 neq 1, o que significa que não há nenhum valor de t que possa satisfazer todas as equações. Portanto, o ponto D não está na reta s .

Resposta

O ponto D = (-5,-3,2) não pertence nem à reta r nem à reta s .

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