Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se
é uma função real tal que
e
, então
.
Se
Passo 1
Então, a gente tem uma função real
que, no ponto
, vale
e a sua derivada nesse ponto é
. A questão está perguntando se, com essas informações, sabemos que
deve ser necessariamente igual a
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e as propriedades de funções lineares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. No caso de
, isso significa que a inclinação da reta tangente à função
no ponto
é 2.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece se assumirmos que a função
é uma reta, ou seja, uma função linear do tipo
. Sabemos que em
,
, então:
E a derivada de
é a constante
, que neste caso é igual a 2:
Passo 4
Substituindo
na equação
, temos:
Então, a função linear que passa por
com
e derivada
é
.
Passo 5
No entanto, é importante notar que essas condições em um único ponto não garantem que a função seja exclusivamente linear. Existem muitas outras funções que, em
, têm o valor
e derivada
, mas que não são necessariamente linhas retas. Por exemplo, funções polinomiais de grau maior, funções exponenciais ajustadas adequadamente, entre outras.
Resposta
Portanto, a proposição é falsa. Embora a função
satisfaça
e
, essas condições não determinam unicamente que
seja igual a
.