Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se f é uma função real tal que f(2)=3 e f^prime(2)=2, então f(x)=2 x-1.

Passo 1

Então, a gente tem uma função real f que, no ponto x=2, vale f(2)=3 e a sua derivada nesse ponto é f'(2)=2. A questão está perguntando se, com essas informações, sabemos que f(x) deve ser necessariamente igual a 2x - 1. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e as propriedades de funções lineares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. No caso de f'(2)=2, isso significa que a inclinação da reta tangente à função f no ponto x=2 é 2.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece se assumirmos que a função f(x) é uma reta, ou seja, uma função linear do tipo f(x) = mx + b. Sabemos que em x=2, f(2)=3, então:
3 = m cdot 2 + b
E a derivada de f(x) é a constante m, que neste caso é igual a 2:
m = 2

Passo 4

Substituindo m=2 na equação 3 = 2 cdot 2 + b, temos:
3 = 4 + b b = 3 - 4 b = -1
Então, a função linear que passa por x=2 com f(2)=3 e derivada f'(2)=2 é f(x) = 2x - 1.

Passo 5

No entanto, é importante notar que essas condições em um único ponto não garantem que a função seja exclusivamente linear. Existem muitas outras funções que, em x=2, têm o valor f(2)=3 e derivada f'(2)=2, mas que não são necessariamente linhas retas. Por exemplo, funções polinomiais de grau maior, funções exponenciais ajustadas adequadamente, entre outras.

Resposta

Portanto, a proposição é falsa. Embora a função f(x) = 2x - 1 satisfaça f(2)=3 e f'(2)=2, essas condições não determinam unicamente que f(x) seja igual a 2x - 1.

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