Considere os pontos A(0,0.2), B(3,-2.8) e C(-3,-5.10), vértices de um triângulo.
Determine:
a) A medida do ângulo no vértice A;
b) A área do triângulo

Passo 1

O enunciado fornece os vértices do triângulo
A(0,0,2), B(3,-2,8), C(-3,-5,10)
e pede
a) a medida do ângulo em A,
b) a área do triângulo.
Para isso vamos usar no plano:
– produto escalar para achar cosang<= A,
– determinante de dois vetores para achar a área.

Passo 2

Formamos os vetores com origem em A:
AB=B-A e AC=C-A.
Em coordenadas:
ABx=3-0=3, ABy=-2,8-0,2=-3,0, isto é
AB=(3,,-3,0)
E
ACx=-3-0=-3, ACy=-5,10-0,20=-5,30, isto é
AC=(-3,,-5,30)

Passo 3

Calculamos o produto escalar e os comprimentos:
ABcdotAC =3cdot(-3)+(-3,0)cdot(-5,30) =-9+15,90=6,90
|AB| =raiz3^2+(-3,0)^2 =raiz9+9= raiz18approx4,243,
|AC| =raiz(-3)^2+(-5,30)^2 =raiz9+28,09=raiz37,09approx6,092
Logo
cosang<= A =ABcdotAC |AB|;|AC| =6,904,243cdot6,092approx0,267

Passo 4

O ângulo em A é
ang<= A=arccos(0,267)approx74,5^circ

Passo 5

Para a área usamos o módulo do determinante (produto vetorial em 2D):
det(AB,AC) =3cdot(-5,30)-(-3,0)cdot(-3) =-15,90-9=-24,90,
área=tfrac12l|det(AB,AC)r| =tfrac12cdot24,90=12,45 á

Resposta

a) ang<= Aapprox74,5^circ
b) área=12,45á unidades de área.

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