Considere os pontos A(1,-2,1), B(-2,5,3) e os vetores u=(-1,-1,-4) e v=(1,-2,-2).
(a) (0,5 pontos) Determine as coordenadas do vetor B A.
(b) (1,0 ponto) Determine as coordenadas do ponto C tal que A C=u-2 B A.
(c) (1,0 ponto) Calcule o ângulo entre os vetores u e v.
(d) (1,0 ponto) Determine um vetor que sejà, ao mesmo tempo, ortogonal aos vetores u e v.
(e) (0,5 pontos) Verifique que sua resposta no item anterior está correta.
(f) ( 1,0 ponto) Calcule (u, A B, v).
(g) (0,5 pontos) Os vetores u, A B e v são coplanares?

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A(1,-2,1), B(-2,5,3) e os vetores u=(-1,-1,-4) e v=(1,-2,-2). Vamos usar operações com pontos e vetores em R^3: subtração de coordenadas para obter vetores, combinação linear, produto interno para ângulo, produto vetorial para ortogonalidade e produto misto para coplanaridade.

Passo 2

Para (a), BA=A-B. Então
BA=(1-(-2),,-2-5,,1-3)=(3,,-7,,-2)

Passo 3

Para (b), queremos C tal que AC=u-2,BA. Primeiro
u-2,BA=(-1,-1,-4)-2(3,-7,-2)=(-1-6,,-1+14,,-4+4)=(-7,13,0)
Como AC=C-A, segue C=A+(-7,13,0)=(1-7,,-2+13,,1+0)=(-6,11,1).

Passo 4

Para (c), usamos o ângulo via produto interno:
costheta=ucdotv|u||v|, ucdotv=(-1)cdot1+(-1)cdot(-2)+(-4)cdot(-2)=9,
|u|=raiz(-1)^2+(-1)^2+(-4)^2=raiz18=3raiz2, |v|=raiz1^2+(-2)^2+(-2)^2=3
Logo costheta=9/(3raiz2cdot3)=1/raiz2, ou theta=45^circ.

Passo 5

Para (d), um vetor ortogonal a u e v é o produto vetorial utimesv. Calculamos
utimesv =deti&j&k -1&-1&-41&-2&-2 =(-6,,-6,,3),
e podemos simplificar para (-2,-2,1).

Passo 6

Para (e), verificamos
(-2,-2,1)cdotu=(-2)(-1)+(-2)(-1)+1(-4)=2+2-4=0,
(-2,-2,1)cdotv=(-2)cdot1+(-2)(-2)+1(-2)=-2+4-2=0,
confirmando a ortogonalidade.

Passo 7

Para (f), o produto misto (u,AB,v) é
ucdot(ABtimesv). Primeiro
AB=B-A=(-3,7,2) e
ABtimesv =deti&j&k -3&7&21&-2&-2 =(-10,,-4,,-1)
Então
ucdot(ABtimesv) =(-1)(-10)+(-1)(-4)+(-4)(-1)=10+4+4=18

Passo 8

Para (g), como o produto misto vale 18neq0, os vetores u, AB e v não são coplanares.

Resposta

(a) BA=(3,-7,-2).
(b) C=(-6,11,1).
(c) theta=45^circ.
(d) Um vetor ortogonal é (-2,-2,1).
(e) De fato (-2,-2,1)cdotu=0 e (-2,-2,1)cdotv=0.
(f) (u,AB,v)=18.
(g) Não são coplanares (produto misto neq0).

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