Questão 01. Sejam duas retas concorrentes, e , de equações:
Pa namétrica
a) (1,25 ponto) Encontre o ponto de interseção das retas r e s;
b) ( 1,25 ponto) Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de r e s e é, ao mesmo tempo, ortogonal a r e s.
Passo 1
O exercício envolve geometria analítica em R^3, especificamente retas em forma paramétrica e produto vetorial. Precisamos encontrar o ponto de interseção das retas r e s e depois determinar a reta que passa por esse ponto e é perpendicular a ambas. Vamos usar: definição de reta paramétrica, resolução de sistema de equações e produto vetorial.
Passo 2
Transforma as retas na forma paramétrica explícita e identifica o ponto base e o vetor diretor de cada uma.
Para
Aqui o ponto base é .
Para :
Aqui o ponto base é .
Passo 3
Encontra a interseção impondo igualdade das coordenadas:
2+u=t, -1+2u=1-t, 3u=4-2t
Da segunda obtém 3u=0 então u=0 e t=2, que satisfaz a terceira. O ponto de interseção é P=(2,-1,0).
Passo 4
A reta procurada deve ser ortogonal a r e s, então seu vetor diretor é dado pelo produto vetorial vrtimesvs:
vrtimesvs=(1,2,3)times(1,-1,-2)=(-1,5,-3)
Passo 5
Usa o ponto P=(2,-1,0) e o vetor diretor (-1,5,-3) para escrever as equações paramétricas da reta:
x=2-t y=-1+5t z=0-3t
Resposta
Ponto de interseção: (2,-1,0). Reta ortogonal: x=2-t, y=-1+5t, z=-3t.