Questão 01. Sejam duas retas concorrentes, r e s, de equações:
Pa namétrica
r: x-2=y+12=z3 e s:c x=t y=1-t z=4-2 t
a) (1,25 ponto) Encontre o ponto de interseção das retas r e s;
b) ( 1,25 ponto) Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de r e s e é, ao mesmo tempo, ortogonal a r e s.

Passo 1

O exercício envolve geometria analítica em R^3, especificamente retas em forma paramétrica e produto vetorial. Precisamos encontrar o ponto de interseção das retas r e s e depois determinar a reta que passa por esse ponto e é perpendicular a ambas. Vamos usar: definição de reta paramétrica, resolução de sistema de equações e produto vetorial.

Passo 2

Transforma as retas na forma paramétrica explícita e identifica o ponto base e o vetor diretor de cada uma.
Para
Aqui o ponto base é .
Para :
Aqui o ponto base é .

Passo 3

Encontra a interseção impondo igualdade das coordenadas:
2+u=t, -1+2u=1-t, 3u=4-2t
Da segunda obtém 3u=0 então u=0 e t=2, que satisfaz a terceira. O ponto de interseção é P=(2,-1,0).

Passo 4

A reta procurada deve ser ortogonal a r e s, então seu vetor diretor é dado pelo produto vetorial vrtimesvs:
vrtimesvs=(1,2,3)times(1,-1,-2)=(-1,5,-3)

Passo 5

Usa o ponto P=(2,-1,0) e o vetor diretor (-1,5,-3) para escrever as equações paramétricas da reta:
x=2-t y=-1+5t z=0-3t

Resposta

Ponto de interseção: (2,-1,0). Reta ortogonal: x=2-t, y=-1+5t, z=-3t.

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