Determine o resto da divisão de a por b nos casos:
a=2 cdot(26)! e b=29

Passo 1

O problema pede o resto da divisão de
a = 2cdot(26)!
por
b = 29
Como 29 é primo, vamos usar aritmética modular e, em particular, o Teorema de Wilson.

Passo 2

O Teorema de Wilson diz que, para todo primo p, vale
(p-1)!equiv -1pmod p
Aqui p=29, logo
28!equiv -1pmod29

Passo 3

Escrevemos
28! = 28cdot27cdot26!
Em módulo 29 isso vira
28cdot27cdot26!equiv -1pmod29

Passo 4

Precisamos isolar (26)!. Primeiro calculemos
28cdot27pmod29
Como 28equiv -1 e 27equiv -2 em módulo 29,
28cdot27equiv(-1)cdot(-2)=2pmod29
Então a congruência do passo anterior fica
2cdot26!equiv -1pmod29 Longrightarrow 26!equiv -1cdot2^-1pmod29
O inverso de 2 módulo 29 é 15, pois 2cdot15=30equiv1pmod29. Logo
26!equiv -1cdot15equiv -15equiv 14pmod29

Passo 5

Agora calculamos
a = 2cdot(26)!equiv 2cdot14=28pmod29
Ou seja, o resto da divisão é 28.

Resposta

O resto da divisão de a por b é 28.

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