Considere os pontos A=(2,1,-1), B=(3,-1,0), C=(-2,3,1) cdot subset cdot D=(m, 3,-4).
Considerando m=4, calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A e os três vértices adjacentes nos pontos B, C e D.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(2,1,-1), B=(3,-1,0), C=(-2,3,1), D=(m,3,-4)
e pede o volume do paralelepípedo com vértice em A e arestas AB, AC, AD.
Para calcular esse volume usamos o produto misto, isto é, o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores, e depois tomamos o valor absoluto.

Passo 2

Como m=4, temos
AB=B-A=(3-2,,-1-1,,0-(-1))=(1,-2,1),
AC=C-A=(-2-2,,3-1,,1-(-1))=(-4,2,2),
AD=D-A=(4-2,,3-1,,-4-(-1))=(2,2,-3)

Passo 3

O produto misto é
detl(AB,AC,ADr) =det 1 & -2 & 1 -4 & 2 & 2 2 & 2 & -3

Passo 4

Expandindo pela primeira linha (regra de Laplace),
det= 1cdotdet2&22&-3 -(-2)cdotdet-4&22&-3 +1cdotdet-4&22&2
Calculando os menores:
det2&22&-3=-10, det-4&22&-3=8, det-4&22&2=-12
Logo
det=1cdot(-10)+2cdot8+1cdot(-12)=-10+16-12=-6

Passo 5

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse determinante:
Volume=l|detr|=lvert -6rvert=6

Resposta

6

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