Considere os pontos A=(2,1,-1), B=(3,-1,0), C=(-2,3,1) cdot subset cdot D=(m, 3,-4).
Determine o valor de m para o qual os pontos A, B, C e D são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
A=(2,1,-1), B=(3,-1,0), C=(-2,3,1), D=(m,3,-4),
e pede o valor de m para que A,B,C,D sejam coplanares.
Conteúdo: teste de coplanaridade via produto misto (triplo escalar) nulo.

Passo 2

Definimos os vetores a partir de A:
AB=B-A=(1,-2,1), AC=C-A=(-4,2,2), AD=D-A=(m-2,,2,,-3)

Passo 3

A condição de coplanaridade é
det 1 & -2 & 1 -4 & 2 & 2 m-2 & 2 & -3 =0
Expandindo pelo método de Sarrus ou regra de Laplace, obtemos
1l(2cdot(-3)-2cdot2r) -(-2)l((-4)cdot(-3)-2,(m-2)r) +1l((-4)cdot2-2,(m-2)r)=0,
que simplifica para
-10 + 2(16-2m) +(-4-2m)=0 Longrightarrow 18 -6m=0

Passo 4

Da equação 18-6m=0 segue
m=3

Resposta

m=3

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