Dados A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0) e D=(0,0,1), encontre a reta que passa pelo ponto E=(1,1,1) e é paralela à reta que é perpendicular a A B e C D.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
,A=(0,0,0), ,B=(1,0,0), ,C=(0,1,0), ,D=(0,0,1) e ,E=(1,1,1),
e pede a reta que passa por E e é paralela à reta que é perpendicular a AB e a CD.
O conteúdo é geometria vetorial em R^3: para achar uma reta perpendicular a duas retas, basta usar o produto vetorial dos seus vetores diretores; em seguida, escolhemos a reta paralela a esse vetor que passe por E.

Passo 2

Vamos obter os vetores diretores de AB e CD.
O vetor de A a B é
AB = B - A = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0)
O vetor de C a D é
CD = D - C = (0,0,1) - (0,1,0) = (0,-1,1)

Passo 3

Para ter um vetor perpendicular a ambos, fazemos o produto vetorial
v = ABtimesCD = (1,0,0)times(0,-1,1)
Calculando componente a componente:
v = l(0cdot1-0cdot(-1),;-l(1cdot1-0cdot0r),;1cdot(-1)-0cdot0r) = (0,,-1,,-1)
Logo v=(0,-1,-1) é perpendicular a AB e a CD.

Passo 4

A reta buscada é aquela que passa por E=(1,1,1) e tem direção v=(0,-1,-1).
Em forma paramétrica:
ell: r(t) = (1,1,1) + t,(0,-1,-1), tin R

Resposta

ell: r(t) = (1,1,1) + t,(0,-1,-1), tin R

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