Encontre a equação implícita que define o plano que passa pelo ponto A=(0,0,0) e é paralelo ao plano B C D definido pelos pontos B=(0,0,1), C=(0,1,0) e D=(1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação implícita do plano que passa por A=(0,0,0) e é paralelo ao plano determinado pelos pontos B=(0,0,1), C=(0,1,0) e D=(1,0,0). Para isso vamos usar geometria vetorial: em particular, obter um vetor normal ao plano BCD e então escrever a equação de um plano com esse mesmo normal que passe por A.

Passo 2

Escolhemos dois vetores diretores no plano BCD, por exemplo
BC = C - B = (0,1,0) - (0,0,1) = (0,1,-1),
BD = D - B = (1,0,0) - (0,0,1) = (1,0,-1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano BCD é dado pelo produto vetorial
n = BC times BD = i & j & k 0 & 1 & -1 1 & 0 & -1 = (-1,-1,-1)
Podemos multiplicar por -1 sem alterar a direção e usar n=(1,1,1).

Passo 4

A equação do plano BCD é ncdot(x,y,z)=ncdot B, ou seja,
1cdot x + 1cdot y + 1cdot z = 1

Passo 5

Para obter o plano paralelo que passe por A=(0,0,0), mantemos o mesmo normal (1,1,1) e escrevemos
1cdot x + 1cdot y + 1cdot z = 1cdot 0 + 1cdot 0 + 1cdot 0 = 0

Resposta

x + y + z = 0

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