Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\(uma transformação linear tal que\)T(-2,3)=(-1,0,1)\(e\)T(1,-2)=(0,-1,0).
Observar que B=\{(1,-2),(-2,3)\} é uma base de R^{2} e calcular T(0,-1). A imagem de T é todo o espaço \mathbb{R}^{3} ?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
\;T\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{3}
cuja ação está conhecida sobre a base
\;B=\{(1,-2),\,(-2,3)\} de \mathbb{R}^{2}:
T(1,-2)=(0,-1,0),\quad T(-2,3)=(-1,0,1).
Precisamos calcular T(0,-1) e verificar se \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Expressamos (0,-1)\) como combinação linear dos vetores de \(B\). Logo, existem escalares \(a,b\) tais que \[a\,(1,-2)+b\,(-2,3)=(0,-1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a-2b=0,\\\\ -2a+3b=-1. \end{cases}
Da primeira equação vem a=2b\]. Substituindo na segunda: \[-2(2b)+3b=-1\;\Rightarrow\;-4b+3b=-1\;\Rightarrow\;b=1,\] portanto \(a=2. Assim
(0,-1)=2\,(1,-2)+1\,(-2,3).

Passo 3

Pela linearidade de T,
T(0,-1) =2\,T(1,-2)+1\,T(-2,3) =2\,(0,-1,0)+(-1,0,1).
Fazendo a soma de vetores obtemos
T(0,-1)=(-1,-2,1).

Passo 4

A imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores
\;T(1,-2)=(0,-1,0) e T(-2,3)=(-1,0,1).
Como são apenas dois vetores em \mathbb{R}^{3}, sua dimensão máxima é 2, ou seja, \mathrm{Im}\,T é um plano próprio de \mathbb{R}^{3}. Portanto
\mathrm{Im}\,T\neq\mathbb{R}^{3}.

Resposta

T(0,-1)=(-1,-2,1).
A imagem de T é um subespaço de dimensão 2, logo não é todo \mathbb{R}^{3}.

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