Seja T:
\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\(uma transformação linear tal que\)T(-2,3)=(-1,0,1)\(e\)T(1,-2)=(0,-1,0).
Observar que B=\{(1,-2),(-2,3)\} é uma base de R^{2} e calcular T(0,-1). A imagem de T é todo o espaço \mathbb{R}^{3} ?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear \;T\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{3}
cuja ação está conhecida sobre a base \;B=\{(1,-2),\,(-2,3)\} de \mathbb{R}^{2}:
T(1,-2)=(0,-1,0),\quad T(-2,3)=(-1,0,1).
Precisamos calcular T(0,-1) e verificar se \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Expressamos (0,-1)\) como combinação linear dos vetores de \(B\). Logo, existem escalares \(a,b\) tais que
\[a\,(1,-2)+b\,(-2,3)=(0,-1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a-2b=0,\\\\ -2a+3b=-1. \end{cases}
Da primeira equação vem a=2b\]. Substituindo na segunda:
\[-2(2b)+3b=-1\;\Rightarrow\;-4b+3b=-1\;\Rightarrow\;b=1,\]
portanto \(a=2. Assim
A imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores \;T(1,-2)=(0,-1,0) e T(-2,3)=(-1,0,1).
Como são apenas dois vetores em \mathbb{R}^{3}, sua dimensão máxima é 2, ou seja, \mathrm{Im}\,T é um plano próprio de \mathbb{R}^{3}. Portanto \mathrm{Im}\,T\neq\mathbb{R}^{3}.
Resposta
T(0,-1)=(-1,-2,1).
A imagem de T é um subespaço de dimensão 2, logo não é todo \mathbb{R}^{3}.