Considere os pontos O(0,0,0), A(1,1,1), B(3,1,2), C(2,0,1), D(1,0,-1). Defina:
  • \vec{u}=\overrightarrow{O A}=(1,1,1)
  • \vec{p}=(2,6,5)
  • \vec{v}=\overrightarrow{O B}=(3,1,2)
  • \vec{w}=\overrightarrow{O D}=(1,0,-1)
  • \vec{q}=(2,0,1)
    Escreva \vec{q} como combinação linear de \vec{u}, \vec{v} ?

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor \vec{q}=(2,0,1) como combinação linear dos vetores \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}=(3,1,2). Ou seja, queremos encontrar escalares a e b tais que
a\,\vec{u} + b\,\vec{v} = \vec{q}.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, temos
a\,(1,1,1) + b\,(3,1,2) = (2,0,1),
o que gera o sistema
\begin{cases} a + 3b = 2,\\\ a + b = 0,\\\ a + 2b = 1. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação segue a + b = 0, logo
a = -b.
Substituindo em a + 3b = 2
(-b) + 3b = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2b = 2 \quad\Longrightarrow\quad b = 1,
portanto a = -1. Verificando na terceira equação:
a + 2b = -1 + 2\cdot1 = 1,
confere com o sistema.

Resposta

\vec{q} = -\,\vec{u} + \vec{v}.

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