Determine um vetor unitário,simultâneamente ortogonal aos vetores \vec{v}=(2,-6,3) e \vec{w}=(4,3,1).

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente aos vetores \vec{v} = (2, -6, 3) e \vec{w} = (4, 3, 1).
O método é usar o produto vetorial para obter um vetor perpendicular a ambos e depois normalizá-lo.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} via determinante:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -6 & 3 \\\\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \bigl((-6)\cdot1 - 3\cdot3,\;-\bigl(2\cdot1 - 3\cdot4\bigr),\;2\cdot3 - (-6)\cdot4\bigr)
= (-6 - 9,\;-(2 - 12),\;6 + 24) = (-15,\;10,\;30).

Passo 3

Observamos que (-15, 10, 30) tem fator comum 5, então um vetor equivalente é
\vec{u} = (-3,\,2,\,6).

Passo 4

Calculamos o módulo de \vec{u}:
\|\vec{u}\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7.
Logo, um vetor unitário é
\frac{\vec{u}}{7} = \bigl(-\tfrac{3}{7},\;\tfrac{2}{7},\;\tfrac{6}{7}\bigr).

Resposta

\displaystyle \bigl(-\tfrac{3}{7},\,\tfrac{2}{7},\,\tfrac{6}{7}\bigr) (ou seu oposto \tfrac{3}{7},-\tfrac{2}{7},-\tfrac{6}{7}).

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