Exercício
Dados \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0), \vec{w}=(0,1,1) e \vec{p}=(2,7,4), encontrar os números \alpha, \beta e \gamma tais que
\vec{p}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}+\gamma \vec{w}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os vetores \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0), \vec{w}=(0,1,1) e \vec{p}=(2,7,4), e queremos encontrar números \alpha,\beta,\gamma tais que
\vec{p} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} + \gamma\,\vec{w}.
O conteúdo aqui é decompor um vetor em combinação linear de outros, resolvendo um sistema linear por correspondência de coordenadas.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas de cada termo: \alpha\,\vec{u} = (\alpha,0,0), \beta\,\vec{v} = (0,\beta,0), \gamma\,\vec{w} = (0,\gamma,\gamma).
Somando,
\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} + \gamma\,\vec{w} = (\alpha,\;\beta+\gamma,\;\gamma).
Queremos que isso seja igual a \vec{p}=(2,7,4), ou seja,
\alpha = 2, \quad \beta + \gamma = 7, \quad \gamma = 4.

Passo 3

Da terceira equação \gamma = 4.
Da primeira equação \alpha = 2.
Substituindo \gamma=4 em \beta+\gamma=7 obtemos \beta = 7 - 4 = 3.

Resposta

\alpha = 2,\;\beta = 3,\;\gamma = 4.

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