Considere os pontos O(0,0,0), A(1,1,1), B(3,1,2), C(2,0,1), D(1,0,-1). Defina:
  • \vec{u}=\overrightarrow{O A}=(1,1,1)
  • \vec{p}=(2,6,5)
  • \vec{v}=\overrightarrow{O B}=(3,1,2)
  • \vec{w}=\overrightarrow{O D}=(1,0,-1)
  • \vec{q}=(2,0,1)
    Escreva \vec{p} como combinação linear de \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(3,1,2), \vec{w}=(1,0,-1) e \vec{p}=(2,6,5), e pede para escrever \vec{p} como combinação linear de \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{p}.
Em coordenadas, isso é
\alpha(1,1,1)+\beta(3,1,2)+\gamma(1,0,-1)=(2,6,5),
o que gera o sistema
\begin{cases} \alpha+3\beta+\gamma=2,\\\ \alpha+\beta=6,\\\ \alpha+2\beta-\gamma=5. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem \alpha=6-\beta\). Substituindo em \(\alpha+3\beta+\gamma=2\) obtém-se \[2\beta+\gamma=-4,
e em \alpha+2\beta-\gamma=5 obtemos
\beta+2\gamma=-3.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2\beta+\gamma=-4,\\\ \beta+2\gamma=-3, \end{cases}
multiplicando a segunda por 2 e subtraindo, achamos \beta=-\tfrac{5}{3}\]. Então \(\gamma=-4-2(-\tfrac{5}{3})=-\tfrac{2}{3} e \alpha=6-(-\tfrac{5}{3})=\tfrac{23}{3}.

Resposta

\vec{p}=\frac{23}{3}\,\vec{u}-\frac{5}{3}\,\vec{v}-\frac{2}{3}\,\vec{w}.

Exercícios relacionados